Questions: Pregunta 2 15 puntos Sea y''+y=sin^2(x) Se sabe que yh=c1 sin(x)+c2 cos(x), entonces yp=u1(x) sin(x)+u2(x) cos(x), donde (A) u1'(x)=sec(x) y u2'(x)=-sec(x) tan(x) (B) u1'(x)=csc^2(x) cos(x) y u2'(x)=-csc^2(x) sin(x) (C) u1'(x)=sin^2(x) cos(x) y u2'(x)=-sin^3(x) (D) u1'(x)=sin^3(x) y u2'(x)=-sin^2(x) cos(x) (E) u1'(x)=cos^3(x) y u2'(x)=-cos^2(x) sin(x)

Pregunta 2
15 puntos

Sea
y''+y=sin^2(x)

Se sabe que yh=c1 sin(x)+c2 cos(x), entonces yp=u1(x) sin(x)+u2(x) cos(x), donde
(A) u1'(x)=sec(x) y u2'(x)=-sec(x) tan(x)
(B) u1'(x)=csc^2(x) cos(x) y u2'(x)=-csc^2(x) sin(x)
(C) u1'(x)=sin^2(x) cos(x) y u2'(x)=-sin^3(x)
(D) u1'(x)=sin^3(x) y u2'(x)=-sin^2(x) cos(x)
(E) u1'(x)=cos^3(x) y u2'(x)=-cos^2(x) sin(x)

Transcript text: Pregunta 2 15 puntos Sea \[ y^{\prime \prime}+y=\sin ^{2}(x) \] Se sabe que $y_{h}=c_{1} \sin (x)+c_{2} \cos (x)$, entonces $y_{p}=u_{1}(x) \sin (x)+u_{2}(x) \cos (x)$, donde (A) $u_{1}^{\prime}(x)=\sec (x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)=-\sec (x) \tan (x)$ (B) $u_{1}^{\prime}(x)=\csc ^{2}(x) \cos (x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)=-\csc ^{2}(x) \sin (x)$ (C) $u_{1}^{\prime}(x)=\sin ^{2}(x) \cos (x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)=-\sin ^{3}(x)$ (D) $u_{1}^{\prime}(x)=\sin ^{3}(x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)=-\sin ^{2}(x) \cos (x)$ (E) $u_{1}^{\prime}(x)=\cos ^{3}(x)$ y $u_{2}^{\prime}(x)=-\cos ^{2}(x) \sin (x)$

Solution

To solve this problem, we need to determine which pair of functions $ u_1'(x) $ and $ u_2'(x) $ will satisfy the given differential equation using the method of variation of parameters. We will substitute each option into the formula for $ y_p $ and check if it satisfies the differential equation.

Paso 1: Identificar la Solución Particular

Dado que la solución homogénea es $ y_h = c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x) $, la solución particular se asume como $ y_p = u_1(x) \sin(x) + u_2(x) \cos(x) $.

Paso 2: Evaluar las Opciones

Para cada opción, calculamos $ u_1'(x) $ y $ u_2'(x) $ y verificamos si satisfacen la ecuación diferencial:

\[ y'' + y = \sin^2(x) \]

Opción A: