Questions: Dado o número complexo w=(1+i)/(1-i), assinale a única alternativa que corresponde ao número complexo z=(1+w)^4. a) -1 b) i c) -i d) -3 e) -4

Dado o número complexo \( w = \frac{1 + \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}} \), multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para simplificar:

\[ w = \frac{1 + \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}} \cdot \frac{1 + \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = \frac{(1 + \mathrm{i})^2}{(1)^2 - (\mathrm{i})^2} \]

Calculamos o numerador e o denominador:

\[ (1 + \mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 1 + 2\mathrm{i} - 1 = 2\mathrm{i} \]

\[ 1^2 - (\mathrm{i})^2 = 1 - (-1) = 2 \]

Portanto:

\[ w = \frac{2\mathrm{i}}{2} = \mathrm{i} \]

Substituímos \( w = \mathrm{i} \) em \( 1 + w \):

\[ 1 + w = 1 + \mathrm{i} \]

Agora, calculamos \( z = (1 + \mathrm{i})^4 \). Primeiro, elevamos \( 1 + \mathrm{i} \) ao quadrado:

\[ (1 + \mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2 = 1 + 2\mathrm{i} - 1 = 2\mathrm{i} \]

Agora, elevamos ao quadrado novamente:

\[ (2\mathrm{i})^2 = 4\mathrm{i}^2 = 4(-1) = -4 \]

Portanto:

\[ z = (1 + \mathrm{i})^4 = -4 \]

A alternativa correta é:

\[ \boxed{\text{e) } -4} \]