Questions: 다음 그림의 어두운 사각형은 직사각형이고, 나머지 4 개의 사각형은 정사각형이다. 4 개의 정사각형의 둘레의 길이의 합이 80 이고, 4 개의 정사각형과 어두운 직사각형의 넓이의 총합이 140 이다. 어두운 사각형의 이웃한 두 변의 길이를 각각 x, y 라 할 때, x^3+y^3 의 값을 구하시오. [4점]
Transcript text: 9. 다음 그림의 어두운 사각형은 직사각형이고, 나머지 4 개의 사각형은 정사각형이다.
4 개의 정사각형의 둘레의 길이의 합이 80 이고, 4 개의 정사각형과 어두운 직사각형의 넓이의 총합이 140 이다. 어두운 직사각형의 이웃한 두 변의 길이를 각각 $x, y$ 라 할 때, $x^{3}+y^{3}$ 의 값을 구하시오. [4점]
Solution
Solution Steps
Step 1: Understand the Problem
The problem involves a cross-shaped figure composed of 5 rectangles: 1 central rectangle and 4 identical surrounding rectangles. We are given:
The sum of the perimeters of the 4 identical rectangles is 80.
The total area of the 5 rectangles is 140.
We need to find x3+y3 where x and y are the lengths of the sides of the central rectangle.
Step 2: Define Variables
Let:
a and b be the dimensions of the central rectangle.
x and y be the dimensions of each of the 4 identical rectangles.
Step 3: Set Up Equations
The perimeter of one identical rectangle is 2(x+y). Since the sum of the perimeters of the 4 rectangles is 80:
4×2(x+y)=80⟹8(x+y)=80⟹x+y=10
The area of the central rectangle is ab, and the area of one identical rectangle is xy. The total area of the 5 rectangles is 140:
ab+4xy=140
Step 4: Solve for x and y
From the equation x+y=10, we can express y in terms of x:
y=10−x
Step 5: Substitute and Solve for ab
Substitute y=10−x into the area equation:
ab+4x(10−x)=140⟹ab+40x−4x2=140
Step 6: Find x3+y3
Using the identity for the sum of cubes:
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)
Since x+y=10:
x3+y3=10(x2−xy+y2)
Step 7: Simplify x2−xy+y2
Using y=10−x:
x2−x(10−x)+(10−x)2=x2−10x+x2+100−20x+x2=3x2−30x+100
Step 8: Final Calculation
Substitute back into the sum of cubes formula:
x3+y3=10(3x2−30x+100)