Questions: 다음 그림의 어두운 사각형은 직사각형이고, 나머지 4 개의 사각형은 정사각형이다. 4 개의 정사각형의 둘레의 길이의 합이 80 이고, 4 개의 정사각형과 어두운 직사각형의 넓이의 총합이 140 이다. 어두운 사각형의 이웃한 두 변의 길이를 각각 x, y 라 할 때, x^3+y^3 의 값을 구하시오. [4점]

다음 그림의 어두운 사각형은 직사각형이고, 나머지 4 개의 사각형은 정사각형이다. 4 개의 정사각형의 둘레의 길이의 합이 80 이고, 4 개의 정사각형과 어두운 직사각형의 넓이의 총합이 140 이다. 어두운 사각형의 이웃한 두 변의 길이를 각각 x, y 라 할 때, x^3+y^3 의 값을 구하시오. [4점]
Transcript text: 9. 다음 그림의 어두운 사각형은 직사각형이고, 나머지 4 개의 사각형은 정사각형이다. 4 개의 정사각형의 둘레의 길이의 합이 80 이고, 4 개의 정사각형과 어두운 직사각형의 넓이의 총합이 140 이다. 어두운 직사각형의 이웃한 두 변의 길이를 각각 $x, y$ 라 할 때, $x^{3}+y^{3}$ 의 값을 구하시오. [4점]
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Solution

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Solution Steps

Step 1: Understand the Problem

The problem involves a cross-shaped figure composed of 5 rectangles: 1 central rectangle and 4 identical surrounding rectangles. We are given:

  • The sum of the perimeters of the 4 identical rectangles is 80.
  • The total area of the 5 rectangles is 140.
  • We need to find x3+y3 x^3 + y^3 where x x and y y are the lengths of the sides of the central rectangle.
Step 2: Define Variables

Let:

  • a a and b b be the dimensions of the central rectangle.
  • x x and y y be the dimensions of each of the 4 identical rectangles.
Step 3: Set Up Equations
  1. The perimeter of one identical rectangle is 2(x+y) 2(x + y) . Since the sum of the perimeters of the 4 rectangles is 80: 4×2(x+y)=80    8(x+y)=80    x+y=10 4 \times 2(x + y) = 80 \implies 8(x + y) = 80 \implies x + y = 10

  2. The area of the central rectangle is ab ab , and the area of one identical rectangle is xy xy . The total area of the 5 rectangles is 140: ab+4xy=140 ab + 4xy = 140

Step 4: Solve for x x and y y

From the equation x+y=10 x + y = 10 , we can express y y in terms of x x : y=10x y = 10 - x

Step 5: Substitute and Solve for ab ab

Substitute y=10x y = 10 - x into the area equation: ab+4x(10x)=140    ab+40x4x2=140 ab + 4x(10 - x) = 140 \implies ab + 40x - 4x^2 = 140

Step 6: Find x3+y3 x^3 + y^3

Using the identity for the sum of cubes: x3+y3=(x+y)(x2xy+y2) x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) Since x+y=10 x + y = 10 : x3+y3=10(x2xy+y2) x^3 + y^3 = 10(x^2 - xy + y^2)

Step 7: Simplify x2xy+y2 x^2 - xy + y^2

Using y=10x y = 10 - x : x2x(10x)+(10x)2=x210x+x2+10020x+x2=3x230x+100 x^2 - x(10 - x) + (10 - x)^2 = x^2 - 10x + x^2 + 100 - 20x + x^2 = 3x^2 - 30x + 100

Step 8: Final Calculation

Substitute back into the sum of cubes formula: x3+y3=10(3x230x+100) x^3 + y^3 = 10(3x^2 - 30x + 100)

Final Answer

x3+y3=10(3x230x+100) x^3 + y^3 = 10(3x^2 - 30x + 100)

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