Questions: Use implicit differentiation to find dy / dx. Then find the slope of the curve at the given point. 9xy - 5x + y = 29 ; (-4,-9/35) The slope of the curve at (-4,-9/35) is

To find \( \frac{dy}{dx} \) using implicit differentiation, differentiate both sides of the equation \( 9xy - 5x + y = 29 \) with respect to \( x \). Apply the product rule to the term \( 9xy \). After differentiating, solve for \( \frac{dy}{dx} \). Then, substitute the given point \((-4, -\frac{9}{35})\) into the expression for \( \frac{dy}{dx} \) to find the slope of the curve at that point.

Dada la ecuación \( 9xy - 5x + y = 29 \), aplicamos la diferenciación implícita. Al diferenciar ambos lados con respecto a \( x \), obtenemos: \[ \frac{d}{dx}(9xy) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(y) = 0 \] Utilizando la regla del producto en \( 9xy \), tenemos: \[ 9\left(x\frac{dy}{dx} + y\right) - 5 + \frac{dy}{dx} = 0 \]

Reorganizamos la ecuación para despejar \( \frac{dy}{dx} \): \[ 9x\frac{dy}{dx} + 9y - 5 + \frac{dy}{dx} = 0 \] \[ (9x + 1)\frac{dy}{dx} = 5 - 9y \] Por lo tanto, la derivada implícita es: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{5 - 9y}{9x + 1} \]

Sustituyendo el punto \((-4, -\frac{9}{35})\) en la expresión de \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{5 - 9\left(-\frac{9}{35}\right)}{9(-4) + 1} \] Calculamos el numerador y el denominador: \[ = \frac{5 + \frac{81}{35}}{-36 + 1} = \frac{\frac{175}{35} + \frac{81}{35}}{-35} = \frac{\frac{256}{35}}{-35} = -\frac{256}{1225} \] Al simplificar, obtenemos aproximadamente: \[ \frac{dy}{dx} \approx -0.20898 \]

La pendiente de la curva en el punto \(\left(-4, -\frac{9}{35}\right)\) es aproximadamente \(-0.20898\).

\(\boxed{-0.20898}\)