Questions: Find the length of the curve, (L). (y^2=16(x+5)^3, 0 leq x leq 3, y>0) (L =45.77)

Solution Steps

To find the length of the curve given by the equation \( y^2 = 16(x+5)^3 \) from \( x = 0 \) to \( x = 3 \), we can use the formula for the arc length of a curve defined by \( y = f(x) \). The formula is:

\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \]

1. First, solve for \( y \) in terms of \( x \) to express the curve in the form \( y = f(x) \).
2. Differentiate \( y \) with respect to \( x \) to find \( \frac{dy}{dx} \).
3. Substitute \( \frac{dy}{dx} \) into the arc length formula.
4. Evaluate the integral from \( x = 0 \) to \( x = 3 \).

주어진 곡선의 방정식은 \( y^2 = 16(x + 5)^3 \)입니다. 이를 \( y \)에 대해 풀면 다음과 같습니다: \[ y = 4\sqrt{(x + 5)^3} \]

곡선의 길이를 구하기 위해 \( y \)를 \( x \)에 대해 미분합니다: \[ \frac{dy}{dx} = 6\sqrt{(x + 5)^3} \cdot \frac{1}{x + 5} \]

호 길이 \( L \)는 다음과 같은 적분으로 표현됩니다: \[ L = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] 여기서 \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \)를 대입하면: \[ L = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + \left(6\sqrt{(x + 5)^3} \cdot \frac{1}{x + 5}\right)^2} \, dx \]

적분을 계산한 결과, 호 길이는 약 \( 45.8869 \)입니다.

Final Answer