Questions: Ache a derivada utilizando a definição: (12 esc) a) f(t)=(2 t+1)/(t+3)

To find the derivative using the definition, we use the limit definition of the derivative. For a function \( f(t) \), the derivative \( f'(t) \) is given by the limit as \( h \) approaches 0 of \(\frac{f(t+h) - f(t)}{h}\). We will apply this definition to the given function.

Para encontrar a derivada de \( f(t) = \frac{2t + 1}{t + 3} \) usando a definição, utilizamos:

\[ f'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{f(t+h) - f(t)}{h} \]

Substituímos \( f(t+h) \) na expressão:

\[ f(t+h) = \frac{2(t+h) + 1}{(t+h) + 3} = \frac{2t + 2h + 1}{t + h + 3} \]

O quociente de diferença é:

\[ \frac{\frac{2t + 2h + 1}{t + h + 3} - \frac{2t + 1}{t + 3}}{h} \]

Calculamos o limite do quociente de diferença à medida que \( h \) se aproxima de 0:

\[ f'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2t + 2h + 1}{t + h + 3} - \frac{2t + 1}{t + 3}}{h} = \frac{5}{t^2 + 6t + 9} \]

A derivada de \( f(t) = \frac{2t + 1}{t + 3} \) é:

\[ \boxed{\frac{5}{(t+3)^2}} \]