Questions: De quantas maneiras podemos dispor em uma roda 6 meninos, 7 meninas e 1 adulto, de tal forma que todos os meninos e todas as meninas fiquem juntos. (A) 6! x 5! B 5! x 4 ! (C) 2 x 5! x 6! (D) 2 x 5! x 4 ! (E) 13 !

Solution Steps

To solve this problem, we need to consider the boys and girls as separate groups that need to stay together. First, treat each group (boys and girls) as a single unit. Then, arrange these two groups and the adult in a circle. Finally, arrange the boys within their group and the girls within their group.

1. Treat the group of boys and the group of girls as single units, along with the adult, giving us 3 units to arrange in a circle.
2. Arrange these 3 units in a circle. For circular permutations, the number of ways to arrange \( n \) items is \((n-1)!\).
3. Arrange the 6 boys within their group and the 7 girls within their group.

Consideramos os 6 meninos e 7 meninas como grupos que devem permanecer juntos. Assim, tratamos o grupo de meninos como uma unidade e o grupo de meninas como outra unidade, além do adulto. Portanto, temos 3 unidades para dispor em uma roda.

O número de maneiras de dispor \( n \) unidades em um círculo é dado por \((n-1)!\). Para as 3 unidades (meninos, meninas e adulto), temos: \[ \text{Arranjos em círculo} = (3 - 1)! = 2! = 2 \]

Agora, precisamos calcular o número de maneiras de arranjar os meninos dentro do seu grupo e as meninas dentro do seu grupo. O número de arranjos dos meninos é: \[ \text{Arranjos dos meninos} = 6! = 720 \] E o número de arranjos das meninas é: \[ \text{Arranjos das meninas} = 7! = 5040 \]

O número total de arranjos é o produto dos arranjos em círculo, arranjos dos meninos e arranjos das meninas: \[ \text{Total de arranjos} = 2 \times 720 \times 5040 = 7257600 \]

Final Answer