Questions: Exercice n° 8 : 1.) Sachant que cos x=0,6 calcule sin x et tan x en utilisant les relations entre cos x, sin x et tan x. 2) Développe et réduis l'expression suivante (cos x+sin x)^2+(cos x-sin x)^2 3° ) Soit ABC un triangle rectangle en A et H le projeté orthogonal de A sur (BC). a) Exprime sin A̅B̂C en fonction AH et AB puis sin B̅C̅A en fonction de AH et AC : b) En déduire que AH^2/AB^2+AH^2/AC^2=1 puis que 1/AB^2+1/AC^2=1/AH^2

Sachant que \(\cos x = 0,6\), nous utilisons l'identité trigonométrique \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) pour calculer \(\sin x\) :

\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 \]

Ainsi, nous avons :

\[ \sin x = \sqrt{0,64} = 0,8 \]

Pour \(\tan x\), nous utilisons la définition :

\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0,8}{0,6} = \frac{4}{3} \]

Nous devons développer et réduire l'expression \((\cos x + \sin x)^2 + (\cos x - \sin x)^2\).

En développant, nous avons :

\[ (\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2\cos x \sin x + \sin^2 x \] \[ (\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\cos x \sin x + \sin^2 x \]

En ajoutant ces deux expressions, nous obtenons :

\[ (\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 x + \sin^2 x) = 2(\cos^2 x + \sin^2 x) = 2 \]

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) avec \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).

a) Nous exprimons \(\sin \angle ABC\) et \(\sin \angle BCA\) :

\[ \sin \angle ABC = \frac{AH}{AB} \] \[ \sin \angle BCA = \frac{AH}{AC} \]

b) En utilisant les relations ci-dessus, nous déduisons que :

\[ \frac{AH^2}{AB^2} + \frac{AH^2}{AC^2} = 1 \]

Cela implique également que :

\[ \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{AH^2} \]

1.) \( \sin x = 0,8 \) et \( \tan x = \frac{4}{3} \)

2. \( \boxed{2} \)

3a) \( \sin \angle ABC = \frac{AH}{AB} \) et \( \sin \angle BCA = \frac{AH}{AC} \)

3b) \( \frac{AH^2}{AB^2} + \frac{AH^2}{AC^2} = 1 \) et \( \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{AH^2} \)