Questions: Use the integral test to determine whether the series is convergent or divergent. (If the integral diverges, enter DIVERGES.) ∑ from n=1 to ∞ of 1/∛(n+7)

Solution Steps

To determine whether the series \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n+7}}\) is convergent or divergent using the integral test, we need to evaluate the improper integral \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x+7}} \, dx\). If the integral converges, then the series converges; if the integral diverges, then the series diverges.

우선, 주어진 급수의 일반항을 함수로 정의합니다. 주어진 급수는 다음과 같습니다: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n+7}} \] 이 급수의 일반항을 함수 \( f(x) \)로 정의하면: \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x+7}} \]

적분 테스트를 사용하기 위해 \( f(x) \)의 적분을 설정합니다. \( f(x) \)는 \( x \geq 1 \)에서 양수이고 감소하는 함수입니다. 따라서 다음 적분을 계산합니다: \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x+7}} \, dx \]

적분을 계산하기 위해 \( u = x + 7 \)로 치환합니다. 그러면 \( du = dx \)가 됩니다. 적분 한계를 \( x \)에서 \( u \)로 변환하면: \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x+7}} \, dx = \int_{8}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \, du \] \[ = \int_{8}^{\infty} u^{-\frac{1}{3}} \, du \]

이제 \( u^{-\frac{1}{3}} \)의 적분을 계산합니다: \[ \int u^{-\frac{1}{3}} \, du = \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} \] 적분 한계를 적용하면: \[ \left[ \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} \right]_{8}^{\infty} \]

적분 한계를 적용하여 값을 계산합니다: \[ \lim_{b \to \infty} \left( \frac{3}{2} b^{\frac{2}{3}} \right) - \frac{3}{2} (8)^{\frac{2}{3}} \] \[ = \lim_{b \to \infty} \left( \frac{3}{2} b^{\frac{2}{3}} \right) - \frac{3}{2} \cdot 4 \] \[ = \infty - 6 \] \[ = \infty \]

Final Answer