Questions: Pregunta 3 20 puntos En la minería, se realizó un estudio para verificar si hay relación entre el tipo de trabajo y el grado de silicosis pulmonar de los trabajadores. Se tomaron los siguientes datos de una muestra de 280 trabajadores: Tipo de trabajo I II III Totales --------------------------------------- Terreno 50 62 74 186 Oficina 38 26 30 94 Totales 88 88 104 280 ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba Chi-cuadrado para determinar si existe dependencia entre el tipo de trabajo y el grado de silicosis? Nota: Utilice Excel (A) 4,542 (B) 5,325 (C) 4,375 (D) 7,231 (E) 4,132

Para calcular las frecuencias esperadas en cada celda de la tabla de contingencia, utilizamos la fórmula:

\[ E = \frac{R_i \times C_j}{N} \]

donde \(R_i\) es el total de la fila \(i\), \(C_j\) es el total de la columna \(j\), y \(N\) es el total general.

Las frecuencias esperadas son las siguientes:

• Para la celda (1, 1): \[ E = \frac{186 \times 88}{280} = 58.4571 \]

• Para la celda (1, 2): \[ E = \frac{186 \times 88}{280} = 58.4571 \]

• Para la celda (1, 3): \[ E = \frac{186 \times 104}{280} = 69.0857 \]

• Para la celda (2, 1): \[ E = \frac{94 \times 88}{280} = 29.5429 \]

• Para la celda (2, 2): \[ E = \frac{94 \times 88}{280} = 29.5429 \]

• Para la celda (2, 3): \[ E = \frac{94 \times 104}{280} = 34.9143 \]

Las frecuencias esperadas calculadas son: \[ \begin{bmatrix} 58.4571 & 58.4571 & 69.0857 \\ 29.5429 & 29.5429 & 34.9143 \end{bmatrix} \]

El estadístico de prueba Chi-Cuadrado se calcula utilizando la fórmula:

\[ \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} \]

donde \(O\) es la frecuencia observada y \(E\) es la frecuencia esperada.

Los cálculos para cada celda son:

• Para la celda (1, 1): \[ O = 50, \quad E = 58.4571, \quad \frac{(50 - 58.4571)^2}{58.4571} = 1.2235 \]

• Para la celda (1, 2): \[ O = 62, \quad E = 58.4571, \quad \frac{(62 - 58.4571)^2}{58.4571} = 0.2147 \]

• Para la celda (1, 3): \[ O = 74, \quad E = 69.0857, \quad \frac{(74 - 69.0857)^2}{69.0857} = 0.3496 \]

• Para la celda (2, 1): \[ O = 38, \quad E = 29.5429, \quad \frac{(38 - 29.5429)^2}{29.5429} = 2.421 \]

• Para la celda (2, 2): \[ O = 26, \quad E = 29.5429, \quad \frac{(26 - 29.5429)^2}{29.5429} = 0.4249 \]

• Para la celda (2, 3): \[ O = 30, \quad E = 34.9143, \quad \frac{(30 - 34.9143)^2}{34.9143} = 0.6917 \]

Sumando todos los valores obtenemos: \[ \chi^2 = 1.2235 + 0.2147 + 0.3496 + 2.421 + 0.4249 + 0.6917 = 5.3254 \]

El valor crítico para un nivel de significancia \(\alpha = 0.05\) y 2 grados de libertad es: \[ \chi^2_{\alpha, df} = 5.9915 \]

El valor p asociado al estadístico de prueba es: \[ P = P(\chi^2 > 5.3254) = 0.0698 \]

El valor del estadístico de prueba Chi-Cuadrado es \( \chi^2 = 5.3254 \). Dado que \(5.3254 < 5.9915\), no se rechaza la hipótesis nula de independencia entre el tipo de trabajo y el grado de silicosis.

La respuesta correcta es \( \boxed{5.325} \).