Questions: Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(4-2 2), B(02 2) und C(2-1 4). Stellen Sie die Seitenkanten des Dreiecks als Spaltenvektoren dar. Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks.

To solve this problem, we need to:

1. Represent the sides of the triangle as column vectors.
2. Calculate the lengths of these vectors.
3. Sum the lengths to find the perimeter of the triangle.

Gegeben sind die Punkte \( A(4, -2, 2) \), \( B(0, 2, 2) \) und \( C(2, -1, 4) \). Die Vektoren der Seiten des Dreiecks werden wie folgt berechnet: \[ \vec{AB} = B - A = [0 - 4, 2 - (-2), 2 - 2] = [-4, 4, 0] \] \[ \vec{BC} = C - B = [2 - 0, -1 - 2, 4 - 2] = [2, -3, 2] \] \[ \vec{CA} = A - C = [4 - 2, -2 - (-1), 2 - 4] = [2, -1, -2] \]

Die Längen der Vektoren werden mit der Formel \( \|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \) berechnet: \[ \|\vec{AB}\| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \approx 5.6569 \] \[ \|\vec{BC}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17} \approx 4.1231 \] \[ \|\vec{CA}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Der Umfang \( U \) des Dreiecks wird durch die Summe der Längen der Seiten berechnet: \[ U = \|\vec{AB}\| + \|\vec{BC}\| + \|\vec{CA}\| \approx 5.6569 + 4.1231 + 3 = 12.7800 \]

Der Umfang des Dreiecks beträgt somit: \[ \boxed{U \approx 12.7800} \]