Questions: 13- Una maquina produce 2 tipos de árboles de leva para una empresa automotriz, el encargado sabe que una muestra de 600 piezas para los arboles tipo "a" arrojan 420 sin fallas, y una muestra de 800 piezas para los arboles tipo "b" arrojan 544 piezas sin fallas. a- El encargado desea estimar la diferencia entre las proporciones de piezas falladas con un nivel de confianza del 95%. ¿Qué opina con respecto de dicha estimación? b- El gerente de dicha empresa le pide a su encargado más precisión en su estimación, desea reducir en un 75% el intervalo obtenido manteniendo el mismo nivel de confianza. ¿Qué haría usted en ese caso y cuál sería su respuesta? (Fundamente teórica y numéricamente)

Se tienen dos tipos de árboles de leva, tipo \( a \) y tipo \( b \). Las proporciones de piezas sin fallas se calculan como sigue:

\[ \hat{p}_a = \frac{420}{600} = 0.7 \] \[ \hat{p}_b = \frac{544}{800} = 0.68 \]

La diferencia entre las proporciones de piezas sin fallas es:

\[ \hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0.7 - 0.68 = 0.02 \]

El error estándar de la diferencia de proporciones se calcula como:

\[ SE = \sqrt{\frac{\hat{p}_a(1 - \hat{p}_a)}{n_a} + \frac{\hat{p}_b(1 - \hat{p}_b)}{n_b}} = \sqrt{\frac{0.7(1 - 0.7)}{600} + \frac{0.68(1 - 0.68)}{800}} \approx 0.0249 \]

El intervalo de confianza del \( 95\% \) para la diferencia de proporciones se calcula como:

\[ (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z \cdot SE \]

Donde \( z = \text{PPF}(1 - \frac{1 - 0.95}{2}) = \text{PPF}(0.975) = 1.96 \).

Por lo tanto, el intervalo es:

\[ 0.02 \pm 1.96 \cdot 0.0249 = (-0.0289, 0.0689) \]

El gerente desea reducir el intervalo en un \( 75\% \). El margen de error actual es:

\[ \text{Margen de error actual} = \frac{0.0689 - (-0.0289)}{2} = 0.0489 \]

El nuevo margen de error deseado es:

\[ \text{Nuevo margen de error} = 0.0489 \cdot 0.25 = 0.0122 \]

Para calcular el tamaño de muestra necesario para alcanzar el nuevo margen de error, se utiliza la fórmula:

\[ n = \left(\frac{Z \cdot SE}{\text{Nuevo margen de error}}\right)^2 \]

Sustituyendo los valores:

\[ n = \left(\frac{1.96 \cdot 0.0249}{0.0122}\right)^2 \approx 15.9878 \approx 16 \]

El intervalo de confianza para la diferencia de proporciones es \( (-0.0289, 0.0689) \) y el tamaño de muestra requerido para reducir el intervalo en un \( 75\% \) es \( 16 \).

\[ \boxed{(-0.0289, 0.0689) \text{ y } n = 16} \]