Questions: A partir de la siguiente ecuación representativa de una función de producción: Y=480+120X-2X^2 obtenga: a) Óptimo técnico b) Beneficio óptimo cuando Py=200 y Px=600 b) Elasticidad producto factor cuando X=10.

To solve the given problem, we need to address each part separately:

1. The optimal technical point is found by taking the derivative of the production function \( Y \) with respect to \( X \) and setting it to zero.
2. Solve for \( X \) to find the critical points.
3. Determine the nature of the critical points (maximum or minimum) by using the second derivative test.

1. Calculate the revenue by multiplying the price of the output \( P_y \) by the production function \( Y \).
2. Calculate the cost by multiplying the price of the input \( P_x \) by \( X \).
3. The profit function is the revenue minus the cost.
4. Take the derivative of the profit function with respect to \( X \) and set it to zero to find the optimal \( X \).
5. Solve for \( X \) and calculate the optimal profit.

1. The elasticity of the product with respect to the factor \( X \) is given by the formula: \[ E = \left( \frac{dY}{dX} \right) \left( \frac{X}{Y} \right) \]
2. Calculate the derivative of \( Y \) with respect to \( X \).
3. Substitute \( X = 10 \) into the formula to find the elasticity.

Para encontrar el óptimo técnico, derivamos la función de producción \( Y = -2X^2 + 120X + 480 \) con respecto a \( X \): \[ \frac{dY}{dX} = 120 - 4X \] Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \[ 120 - 4X = 0 \implies X = 30 \] Verificamos la naturaleza del punto crítico usando la segunda derivada: \[ \frac{d^2Y}{dX^2} = -4 \] Dado que la segunda derivada es negativa, \( X = 30 \) es un máximo. Por lo tanto, el óptimo técnico es: \[ \text{Óptimo técnico: } X = 30 \]

Calculamos el ingreso y el costo. El ingreso se define como: \[ \text{Ingreso} = P_y \cdot Y = 200 \cdot (-2X^2 + 120X + 480) = -400X^2 + 24000X + 96000 \] El costo es: \[ \text{Costo} = P_x \cdot X = 600X \] La función de beneficio es: \[ \text{Beneficio} = \text{Ingreso} - \text{Costo} = -400X^2 + 23400X + 96000 \] Derivamos la función de beneficio con respecto a \( X \) y la igualamos a cero: \[ \frac{d(\text{Beneficio})}{dX} = 23400 - 800X = 0 \implies X = \frac{117}{4} \] Sustituyendo \( X = \frac{117}{4} \) en la función de beneficio, obtenemos: \[ \text{Beneficio óptimo} = 438225 \]

La elasticidad del producto con respecto al factor \( X \) se calcula como: \[ E = \left( \frac{dY}{dX} \right) \left( \frac{X}{Y} \right) \] Calculamos \( \frac{dY}{dX} \) en \( X = 10 \): \[ \frac{dY}{dX} = 80 \] Sustituyendo \( X = 10 \) en la función de producción: \[ Y = -2(10)^2 + 120(10) + 480 = 1480 \] Por lo tanto, la elasticidad es: \[ E = \frac{80 \cdot 10}{1480} = \frac{800}{1480} = \frac{20}{37} \]

\[ \text{Óptimo técnico: } \boxed{X = 30} \] \[ \text{Beneficio óptimo: } \boxed{438225} \] \[ \text{Elasticidad producto factor: } \boxed{\frac{20}{37}} \]