Questions: 9 점 (P1(x1, y1, z1)) 에서 평면 (a x+b y+c z+d=0) 까지의 거리 (D) 는 다음과 같 다. [ D=fraca x1+b y1+c z1+dsqrta^2+b^2+c^2 ]

$9 점 (P1(x1, y1, z1)) 에서 평면 (a x+b y+c z+d=0) 까지의 거리 (D) 는 다음과 같 다. [ D=fraca x1+b y1+c z1+dsqrta^2+b^2+c^2 ]$

Transcript text: 9 점 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 에서 평면 $a x+b y+c z+d=0$ 까지의 거리 $D$ 는 다음과 같 다. \[ D=\frac{\left|a x_{1}+b y_{1}+c z_{1}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \]

Solution

Solution Steps

To find the distance $ D $ from a point $ P_1(x_1, y_1, z_1) $ to a plane defined by the equation $ ax + by + cz + d = 0 $, we can use the given formula: \[ D = \frac{\left|ax_1 + by_1 + cz_1 + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

Step 1: 주어진 값 정리

점 $ P_1 $의 좌표는 $ (1, 2, 3) $이고, 평면의 방정식 계수는 $ a = 4 $, $ b = 5 $, $ c = 6 $, $ d = 7 $입니다.

Step 2: 거리 공식 적용

점 $ P_1(x_1, y_1, z_1) $에서 평면 $ ax + by + cz + d = 0 $까지의 거리는 다음과 같은 공식을 사용하여 계산됩니다: \[ D = \frac{\left| ax_1 + by_1 + cz_1 + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

Step 3: 거리 계산

분자 계산: \[ ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 7 = 4 + 10 + 18 + 7 = 39 \] 따라서, $ \left| ax_1 + by_1 + cz_1 + d \right| = |39| = 39 $.
분모 계산: \[ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77} \]
최종 거리 계산: \[ D = \frac{39}{\sqrt{77}} \approx 4.4445 \]