Questions: 이차방정식 3x^2-6x+k=0 이 중근 x=a 를 가질 때, k+a 의 값을 구하시오. (단, k 는 상수)

Transcript text: 이차방정식 $3 x^{2}-6 x+k=0$ 이 중근 $x=a$ 를 가질 때, $k+a$ 의 값을 구하시오. (단, $k$ 는 상수)

Solution

Solution Steps

To solve for $ k + a $ given that the quadratic equation $ 3x^2 - 6x + k = 0 $ has a double root $ x = a $, we need to use the property of double roots in quadratic equations. A quadratic equation $ ax^2 + bx + c = 0 $ has a double root if and only if its discriminant is zero. The discriminant of $ 3x^2 - 6x + k = 0 $ is given by $ b^2 - 4ac $. We set this equal to zero and solve for $ k $. Then, we use the fact that the double root $ x = a $ satisfies the equation to find $ a $. Finally, we compute $ k + a $.

Step 1: 이차방정식의 판별식 계산

이차방정식 $3x^2 - 6x + k = 0$ 의 판별식은 다음과 같습니다: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot k = 36 - 12k \]

Step 2: 중근 조건 적용

중근을 가지려면 판별식이 0이어야 합니다: \[ 36 - 12k = 0 \] 이를 풀면: \[ k = 3 \]

Step 3: 중근 $a$ 계산

이차방정식 $3x^2 - 6x + 3 = 0$ 에서 중근 $a$ 를 구합니다. $k = 3$ 을 대입하면: \[ 3x^2 - 6x + 3 = 0 \] 이를 풀면: \[ x = 1 \] 따라서 $a = 1$ 입니다.

Step 4: $k + a$ 계산

$k$ 와 $a$ 의 값을 더하면: \[ k + a = 3 + 1 = 4 \]