Questions: Find an equation of the plane with the given characteristics. The plane passes through the point (6,-4,3) and contains the line given by x/2=(y-4)/-1=z.

To find the equation of the plane, we need a point on the plane and a normal vector. We already have a point, \( (6, -4, 3) \). The line's parametric form can be derived from the given symmetric equations, and two points on the line can be used to find a direction vector. The cross product of this direction vector and a vector from the point on the line to the given point will give us the normal vector to the plane. Finally, we use the point-normal form of the plane equation.

El plano pasa por el punto \( (6, -4, 3) \). La línea está dada por las ecuaciones paramétricas \( x = 2t \), \( y = -t + 4 \), \( z = t \). Al elegir \( t = 0 \) y \( t = 1 \), obtenemos dos puntos en la línea: \( (0, 4, 0) \) y \( (2, 3, 1) \).

El vector de dirección de la línea se obtiene restando los dos puntos en la línea: \[ \text{vector\_dirección} = (2, 3, 1) - (0, 4, 0) = (2, -1, 1) \]

El vector desde el punto en la línea \( (0, 4, 0) \) hasta el punto en el plano \( (6, -4, 3) \) es: \[ \text{vector\_al\_punto} = (6, -4, 3) - (0, 4, 0) = (6, -8, 3) \]

El vector normal al plano es el producto cruzado del vector de dirección de la línea y el vector hacia el punto: \[ \text{vector\_normal} = (2, -1, 1) \times (6, -8, 3) = (5, 0, -10) \]

La ecuación del plano en la forma \( ax + by + cz = d \) se obtiene usando el vector normal \( (5, 0, -10) \) y el punto en el plano \( (6, -4, 3) \): \[ 5x + 0y - 10z = d \] Calculamos \( d \) usando el producto punto: \[ d = 5 \cdot 6 + 0 \cdot (-4) - 10 \cdot 3 = 0 \] Por lo tanto, la ecuación del plano es: \[ 5x - 10z = 0 \]

\[ \boxed{5x - 10z = 0} \]