To find the equation of the plane, we need a point on the plane and a normal vector. We already have a point, \( (6, -4, 3) \). The line's parametric form can be derived from the given symmetric equations, and two points on the line can be used to find a direction vector. The cross product of this direction vector and a vector from the point on the line to the given point will give us the normal vector to the plane. Finally, we use the point-normal form of the plane equation.
El plano pasa por el punto \( (6, -4, 3) \). La línea está dada por las ecuaciones paramétricas \( x = 2t \), \( y = -t + 4 \), \( z = t \). Al elegir \( t = 0 \) y \( t = 1 \), obtenemos dos puntos en la línea: \( (0, 4, 0) \) y \( (2, 3, 1) \).
El vector de dirección de la línea se obtiene restando los dos puntos en la línea:
\[
\text{vector\_dirección} = (2, 3, 1) - (0, 4, 0) = (2, -1, 1)
\]
El vector desde el punto en la línea \( (0, 4, 0) \) hasta el punto en el plano \( (6, -4, 3) \) es:
\[
\text{vector\_al\_punto} = (6, -4, 3) - (0, 4, 0) = (6, -8, 3)
\]
El vector normal al plano es el producto cruzado del vector de dirección de la línea y el vector hacia el punto:
\[
\text{vector\_normal} = (2, -1, 1) \times (6, -8, 3) = (5, 0, -10)
\]
La ecuación del plano en la forma \( ax + by + cz = d \) se obtiene usando el vector normal \( (5, 0, -10) \) y el punto en el plano \( (6, -4, 3) \):
\[
5x + 0y - 10z = d
\]
Calculamos \( d \) usando el producto punto:
\[
d = 5 \cdot 6 + 0 \cdot (-4) - 10 \cdot 3 = 0
\]
Por lo tanto, la ecuación del plano es:
\[
5x - 10z = 0
\]
\[
\boxed{5x - 10z = 0}
\]
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