Questions: Pergunta 4 A equação da reta tangente à curva f(x)=x^2 no ponto de abscissa igual a 3 é: (A) y=x (B) y=20x+6 (C) y=20-x (D) y=6x-9 (E) y=6x

Transcript text: Pergunta 4 A equação da reta tangente à curva $f(x)=x^{2}$ no ponto de abscissa igual a 3 é: (A) $y=x$ (B) $y=20 x+6$ (C) $y=20-x$ (D) $y=6 x-9$ (E) $y=6 x$

Solution

Solution Steps

To find the equation of the tangent line to the curve $ f(x) = x^2 $ at the point where the x-coordinate is 3, we need to follow these steps:

Calculate the derivative of $ f(x) $ to find the slope of the tangent line.
Evaluate the derivative at $ x = 3 $ to get the slope at that point.
Use the point-slope form of the equation of a line with the point $ (3, f(3)) $ and the slope found in step 2.

Step 1: Calcular a derivada da função $ f(x) = x^2 $

A derivada de $ f(x) = x^2 $ é: \[ f'(x) = 2x \]

Step 2: Avaliar a derivada no ponto $ x = 3 $

Substituindo $ x = 3 $ na derivada: \[ f'(3) = 2 \cdot 3 = 6 \] Portanto, a inclinação da reta tangente é $ 6 $.

Step 3: Calcular a coordenada $ y $ do ponto na curva

Substituindo $ x = 3 $ na função original: \[ f(3) = 3^2 = 9 \] Portanto, o ponto de tangência é $ (3, 9) $.

Step 4: Usar a forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente

A forma ponto-inclinação da equação de uma reta é: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Substituindo $ m = 6 $, $ x_1 = 3 $ e $ y_1 = 9 $: \[ y - 9 = 6(x - 3) \]

Step 5: Simplificar a equação da reta tangente

Simplificando a equação: \[ y - 9 = 6x - 18 \] \[ y = 6x - 9 \]