Questions: Resolver la ecuación diferencial sujeta a las condiciones dadas. (x D-1) y=-x^3 sen x y(π / 2)=π

Transcript text: 2- Resolver la ecuación diferencial sujeta a las condiciones dadas. \[ (x D-1) y=-x^{3} \operatorname{sen} x \quad y(\pi / 2)=\pi \]

Solution

Solution Steps

To solve the given differential equation \((x D - 1) y = -x^3 \sin x\) with the initial condition \(y(\pi / 2) = \pi\), we can use the method of integrating factors. First, rewrite the equation in standard linear form and identify the integrating factor. Then, solve the equation by integrating both sides and apply the initial condition to find the particular solution.

Step 1: Planteamiento de la Ecuación Diferencial

La ecuación diferencial dada es

\[ (x D - 1) y = -x^3 \sin x \]

que se puede reescribir como

\[ x \frac{dy}{dx} - y = -x^3 \sin x. \]

Step 2: Solución de la Ecuación Diferencial

Al resolver la ecuación diferencial, encontramos que la solución general es

\[ y(x) = x \left( x \cos x - \sin x + 3 \right). \]

Step 3: Aplicación de la Condición Inicial

Para encontrar la solución particular, aplicamos la condición inicial \(y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi\). Sustituyendo \(x = \frac{\pi}{2}\) en la solución general, verificamos que se cumple la condición.