Questions: 모든 자연수 n 에 대하여 A=x x 는 8^n 을 10 으로 나누었을 때의 나머지 , B=x x 는 7^n+k 를 10 으로 나누었을 때의 나머지 일 때, A=B 를 만족시키는 10 이하의 자연수 k 의 값 은? (1) 1 (2) 3 (3) 5 (4) 7 (5) 9

Transcript text: 16. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $A=\left\{x \mid x\right.$ 는 $8^{n}$ 을 10 으로 나누었을 때의 나머지 $\}$, $B=\left\{x \mid x\right.$ 는 $7^{n}+k$ 를 10 으로 나누었을 때의 나머지 $\}$ 일 때, $A=B$ 를 만족시키는 10 이하의 자연수 $k$ 의 값 은? (1) 1 (2) 3 (3) 5 (4) 7 (5) 9

Solution

Solution Steps

To solve this problem, we need to determine the values of $ k $ such that the sets $ A $ and $ B $ are equal. This involves finding the remainders of $ 8^n $ and $ 7^n + k $ when divided by 10 for all natural numbers $ n $. We then compare these remainders to find the appropriate $ k $.

Calculate the remainders of $ 8^n \mod 10 $ for $ n $ from 1 to 4 (since the remainders will start repeating due to the cyclic nature of powers modulo 10).
Calculate the remainders of $ 7^n + k \mod 10 $ for $ n $ from 1 to 4 for each $ k $ from 1 to 10.
Compare the sets of remainders to find the value(s) of $ k $ that make $ A = B $.

Step 1: $8^n \mod 10$의 나머지 계산

우선, $8^n \mod 10$의 나머지를 계산합니다. $n$이 1부터 4까지일 때, 나머지는 다음과 같습니다: \[ \begin{align_} 8^1 & \equiv 8 \mod 10 \\ 8^2 & \equiv 64 \equiv 4 \mod 10 \\ 8^3 & \equiv 512 \equiv 2 \mod 10 \\ 8^4 & \equiv 4096 \equiv 6 \mod 10 \\ \end{align_} \] 따라서, $8^n \mod 10$의 나머지 집합은 $\{8, 4, 2, 6\}$입니다.

Step 2: $7^n + k \mod 10$의 나머지 계산

다음으로, $7^n + k \mod 10$의 나머지를 계산합니다. $n$이 1부터 4까지일 때, $k$가 1부터 10까지의 값을 가질 때 나머지를 계산합니다. $k$가 1부터 10까지의 값을 가질 때, $7^n + k \mod 10$의 나머지 집합이 $\{8, 4, 2, 6\}$와 같은지 확인합니다.

Step 3: $k$ 값 찾기

모든 $k$ 값에 대해 $7^n + k \mod 10$의 나머지를 계산한 결과, 어떤 $k$ 값도 $\{8, 4, 2, 6\}$와 일치하지 않습니다. 따라서, $A = B$를 만족시키는 10 이하의 자연수 $k$는 존재하지 않습니다.