Questions: Quando falamos em funções devemos observar quem são as variáveis independentes desta função, no caso f(x, y, z) = (2 x + 3 z) / (x + y - z) é uma função de três variáveis independentes x, y e z. Ainda pensando nestas variáveis temos dois conceitos bem importantes, o Domínio da função e a Função no Ponto. O domínio da função depende justamente das variáveis independentes, são os valores que estas variáveis podem assumir para que a função exista. Já a função no ponto, como o próprio nome nos induz a pensar, é o quanto vale a função no ponto fornecido. Diante disso, assinale a opção que corresponde ao domínio da função f e ao valor dela no ponto (-5,3,-1) respectivamente. Df = (x, y, z) ∈ ℝ³ / z+x+y ≠ 0 e -13, Df = (x, y, z) ∈ ℝ³ / z ≠ x+y e 13

Quando falamos em funções devemos observar quem são as variáveis independentes desta função, no caso

f(x, y, z) = (2 x + 3 z) / (x + y - z)

é uma função de três variáveis independentes x, y e z. Ainda pensando nestas variáveis temos dois conceitos bem importantes, o Domínio da função e a Função no Ponto. O domínio da função depende justamente das variáveis independentes, são os valores que estas variáveis podem assumir para que a função exista. Já a função no ponto, como o próprio nome nos induz a pensar, é o quanto vale a função no ponto fornecido. Diante disso, assinale a opção que corresponde ao domínio da função f e ao valor dela no ponto (-5,3,-1) respectivamente.

Df = (x, y, z) ∈ ℝ³ / z+x+y ≠ 0 e -13,

Df = (x, y, z) ∈ ℝ³ / z ≠ x+y e 13

Transcript text: Quando falamos em funções devemos observar quem são as variáveis independentes desta função, no caso \[ f(x, y, z)=\frac{2 x+3 z}{x+y-z} \] é uma função de três variáveis independentes $x, y$ e $z$. Ainda pensando nestas variáveis temos dois conceitos bem importantes, o Domínio da função e a Função no Ponto. O domínio da função depende justamente das variáveis independentes, são os valores que estas variáveis podem assumir para que a função exista. Já a função no ponto, como o próprio nome nos induz a pensar, é o quanto vale a função no ponto fornecido. Diante disso, assinale a opção que corresponde ao domínio da função $f$ e ao valor dela no ponto ( $-5,3,-1$ ) respectivamente. \[ \begin{array}{c} D_{f}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / z+x+y \neq 0\right\} \text { e-13, } \\ D_{f}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / z \neq x+y\right\} \text { e } 13 \end{array} \]

Solution

Solution Steps

To solve this problem, we need to determine the domain of the function $ f(x, y, z) = \frac{2x + 3z}{x + y - z} $ and evaluate the function at the point $(-5, 3, -1)$.

Domain of the Function: The function $ f(x, y, z) $ is defined as long as the denominator $ x + y - z \neq 0 $. Therefore, the domain $ D_f $ consists of all points $(x, y, z)$ in $\mathbb{R}^3$ such that $ x + y - z \neq 0 $.
Function at the Point: To find the value of the function at the point $(-5, 3, -1)$, substitute $ x = -5 $, $ y = 3 $, and $ z = -1 $ into the function and simplify.

Step 1: Determinação do Domínio da Função

A função $ f(x, y, z) = \frac{2x + 3z}{x + y - z} $ está definida quando o denominador não é zero. Portanto, o domínio $ D_f $ é dado por: \[ D_f = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z \neq 0\} \]

Step 2: Avaliação da Função no Ponto

Para encontrar o valor da função no ponto $(-5, 3, -1)$, substituímos $ x = -5 $, $ y = 3 $ e $ z = -1 $ na função: \[ f(-5, 3, -1) = \frac{2(-5) + 3(-1)}{-5 + 3 - (-1)} = \frac{-10 - 3}{-5 + 3 + 1} = \frac{-13}{-1} = 13 \]