Questions: The letters r and θ represent polar coordinates. Write the following equation using rectangular coordinates (x, y). r^2 = 16 cos θ The equation using rectangular coordinates (x, y) is = 0.

To convert the given polar equation to rectangular coordinates, we use the relationships between polar and rectangular coordinates: \( x = r \cos \theta \) and \( y = r \sin \theta \). Additionally, \( r^2 = x^2 + y^2 \). Substitute these into the given equation to express it in terms of \( x \) and \( y \).

Um die gegebene Gleichung \( r^2 = 16 \cos \theta \) in kartesische Koordinaten umzuwandeln, verwenden wir die Beziehungen zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten: \( x = r \cos \theta \) und \( y = r \sin \theta \). Außerdem gilt \( r^2 = x^2 + y^2 \).

Substituieren wir \( r^2 = x^2 + y^2 \) in die gegebene Gleichung, erhalten wir: \[ x^2 + y^2 = 16 \cos \theta \]

Da \( x = r \cos \theta \), können wir \( \cos \theta \) durch \( \frac{x}{r} \) ausdrücken. Da \( r^2 = x^2 + y^2 \), ist \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \). Somit wird die Gleichung: \[ x^2 + y^2 = 16 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \]

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \(\sqrt{x^2 + y^2}\), um den Bruch zu beseitigen: \[ (x^2 + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 16x \]

Um die Gleichung weiter zu vereinfachen, setzen wir \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \), was zu: \[ z^3 = 16x \] führt. Dies ist die kartesische Form der Gleichung.

Die Gleichung in kartesischen Koordinaten ist: \[ \boxed{(x^2 + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 16x} \]