Questions: Si M=2^(n+1), entonces (2^(2n+1)+4^n)/(2^(n+1)+4*2^n) A) M/8 B) M/4 C) M D) 2M E) 4M

To solve the given expression, we need to simplify the fraction \(\frac{2^{2n+1} + 4^n}{2^{n+1} + 4 \cdot 2^n}\). First, express \(4^n\) as \((2^2)^n = 2^{2n}\). Then, simplify the numerator and the denominator separately. After simplification, compare the result with the given options in terms of \(M = 2^{n+1}\).

Dada la expresión \(\frac{2^{2n+1} + 4^n}{2^{n+1} + 4 \cdot 2^n}\), primero reescribimos \(4^n\) como \(2^{2n}\). Así, la expresión se convierte en:

\[ \frac{2^{2n+1} + 2^{2n}}{2^{n+1} + 4 \cdot 2^n} \]

El numerador se puede simplificar como:

\[ 2^{2n+1} + 2^{2n} = 2^{2n}(2 + 1) = 3 \cdot 2^{2n} \]

El denominador se simplifica a:

\[ 2^{n+1} + 4 \cdot 2^n = 2^{n+1} + 2^{n+2} = 3 \cdot 2^{n+1} \]

Sustituyendo las simplificaciones en la expresión original, obtenemos:

\[ \frac{3 \cdot 2^{2n}}{3 \cdot 2^{n+1}} = \frac{2^{2n}}{2^{n+1}} = 2^{2n - (n+1)} = 2^{n-1} \]

Recordando que \(M = 2^{n+1}\), podemos expresar \(2^{n-1}\) en términos de \(M\):

\[ 2^{n-1} = \frac{M}{4} \]

La respuesta correcta es la opción B, que corresponde a \(\frac{M}{4}\).

\(\boxed{\frac{M}{4}}\)