Questions: Dado el ingreso marginal I'(x) y el costo marginal C'(x) podemos determinar la utilidad marginal U'(x) de una línea de producción y a su vez la utilidad. De modo que U(x)=∫ U'(x) dx=∫[I'(x)-C'(x)] dx Por otro lado, la utilidad máxima corresponde a U(p) donde U'(p)=0, U''. De acuerdo a lo anterior, responde. Una compañía de maquinaria industrial vende x unidades de un artefacto. ingreso marginal por vender x unidades está dado por la función l'(x)=-16x+800 dólares, y el costo marginal por cada unidad adicional es de C'(x)=4x+40 dólares. Si la compañía genera una utilidad total de 4.000 dólares para 5 unidades vendidas, ¿Cuál es la utilidad máxima que la compañía puede alcanzar?

To solve this problem, we need to follow these steps:

1. Determine the marginal utility function $U'(x)$: This is given by the difference between the marginal revenue $I'(x)$ and the marginal cost $C'(x)$.
2. Integrate the marginal utility function $U'(x)$ to find the utility function $U(x)$.
3. Use the given condition $U(5) = 4000$ to find the constant of integration.
4. Find the critical points by setting $U'(x) = 0$ and solve for $x$.
5. Determine the maximum utility by evaluating $U(x)$ at the critical points.

Dadas las funciones de ingreso marginal y costo marginal: $$I'(x) = 800 - 16x$$ $$C'(x) = 4x + 40$$

La utilidad marginal se define como: $$U'(x) = I'(x) - C'(x) = (800 - 16x) - (4x + 40) = 760 - 20x$$

Integrando la función de utilidad marginal: $$U(x) = \int U'(x) \, dx = -10x^2 + 760x + C$$

Dado que $U(5) = 4000$: $$U(5) = -10(5^2) + 760(5) + C = 4000$$ Calculando: $$U(5) = -250 + 3800 + C = 4000 \implies C = 450$$ Por lo tanto, la función de utilidad es: $$U(x) = -10x^2 + 760x + 450$$

Para encontrar los puntos críticos, resolvemos $U'(x) = 0$: $$760 - 20x = 0 \implies x = 38$$

Evaluamos $U(x)$ en el punto crítico $x = 38$: $$U(38) = -10(38^2) + 760(38) + 450 = 14890$$

La utilidad máxima que la compañía puede alcanzar es: $$\boxed{14890}$$