Questions: Dado el ingreso marginal I'(x) y el costo marginal C'(x) podemos determinar la utilidad marginal U'(x) de una línea de producción y a su vez la utilidad. De modo que U(x)=∫ U'(x) dx=∫[I'(x)-C'(x)] dx Por otro lado, la utilidad máxima corresponde a U(p) donde U'(p)=0, U''. De acuerdo a lo anterior, responde. Una compañía de maquinaria industrial vende x unidades de un artefacto. ingreso marginal por vender x unidades está dado por la función l'(x)=-16x+800 dólares, y el costo marginal por cada unidad adicional es de C'(x)=4x+40 dólares. Si la compañía genera una utilidad total de 4.000 dólares para 5 unidades vendidas, ¿Cuál es la utilidad máxima que la compañía puede alcanzar?

Dado el ingreso marginal I'(x) y el costo marginal C'(x) podemos determinar la utilidad marginal U'(x) de una línea de producción y a su vez la utilidad. De modo que
U(x)=∫ U'(x) dx=∫[I'(x)-C'(x)] dx

Por otro lado, la utilidad máxima corresponde a U(p) donde U'(p)=0, U''.
De acuerdo a lo anterior, responde.
Una compañía de maquinaria industrial vende x unidades de un artefacto. ingreso marginal por vender x unidades está dado por la función l'(x)=-16x+800 dólares, y el costo marginal por cada unidad adicional es de C'(x)=4x+40 dólares. Si la compañía genera una utilidad total de 4.000 dólares para 5 unidades vendidas, ¿Cuál es la utilidad máxima que la compañía puede alcanzar?

Transcript text: Dado el ingreso marginal $I^{\prime}(x)$ y el costo marginal $C^{\prime}(x)$ podemos determinar la utilidad marginal $U^{\prime}(x)$ de una línea de producción y a su vez la utilidad. De modo que \[ U(x)=\int U^{\prime}(x) d x=\int\left[I^{\prime}(x)-C^{\prime}(x)\right] d x \] Por otro lado, la utilidad máxima corresponde a $U(p)$ donde $U^{\prime}(p)=0, U^{\prime \prime}$. De acuerdo a lo anterior, responde. Una compañía de maquinaria industrial vende $x$ unidades de un artefacto. ingreso marginal por vender $x$ unidades está dado por la función $l^{\prime}(x)=-16 x+800$ dólares, $y$ el costo marginal por cada unidad adicional es de $C^{\prime}(x)=4 x+40$ dólares. Si la compañía genera una utilidad total de $\$ 4.000$ dólares para 5 unidades vendidas, ¿Cuál es la utilidad máxima que la compañía puede alcanzar?

Solution

To solve this problem, we need to follow these steps:

Determine the marginal utility function $ U'(x) $: This is given by the difference between the marginal revenue $ I'(x) $ and the marginal cost $ C'(x) $.
Integrate the marginal utility function $ U'(x) $ to find the utility function $ U(x) $.
Use the given condition $ U(5) = 4000 $ to find the constant of integration.
Find the critical points by setting $ U'(x) = 0 $ and solve for $ x $.
Determine the maximum utility by evaluating $ U(x) $ at the critical points.

Paso 1: Funciones Marginales

Dadas las funciones de ingreso marginal y costo marginal: \[ I'(x) = 800 - 16x \] \[ C'(x) = 4x + 40 \]

Paso 2: Función de Utilidad Marginal

La utilidad marginal se define como: \[ U'(x) = I'(x) - C'(x) = (800 - 16x) - (4x + 40) = 760 - 20x \]

Paso 3: Integración para Encontrar la Utilidad

Integrando la función de utilidad marginal: \[ U(x) = \int U'(x) \, dx = -10x^2 + 760x + C \]

Paso 4: Determinación de la Constante

Dado que $ U(5) = 4000 $: \[ U(5) = -10(5^2) + 760(5) + C = 4000 \] Calculando: \[ U(5) = -250 + 3800 + C = 4000 \implies C = 450 \] Por lo tanto, la función de utilidad es: \[ U(x) = -10x^2 + 760x + 450 \]

Paso 5: Encontrar Puntos Críticos

Para encontrar los puntos críticos, resolvemos $ U'(x) = 0 $: \[ 760 - 20x = 0 \implies x = 38 \]

Paso 6: Evaluación de la Utilidad Máxima

Evaluamos $ U(x) $ en el punto crítico $ x = 38 $: \[ U(38) = -10(38^2) + 760(38) + 450 = 14890 \]

Respuesta Final

La utilidad máxima que la compañía puede alcanzar es: \[ \boxed{14890} \]

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