Questions: PROBLEMA 1 La trayectoria de una partícula está dada por: x=4 t^-2, y=(t^3+4)^-1, z=(t^2-5)^2, con x, y, z en [m] y t en [s] Calcule a los 1,5 [s]: a) la magnitud de la aceleración normat

Solution Steps

Primero, necesitamos encontrar las derivadas de las funciones de posición \(x(t)\), \(y(t)\) y \(z(t)\) para obtener las velocidades y aceleraciones.

Para \(x(t) = 4t^{-2}\): \[ \dot{x}(t) = \frac{d}{dt}(4t^{-2}) = 4 \cdot (-2) t^{-3} = -8t^{-3} \] \[ \ddot{x}(t) = \frac{d}{dt}(-8t^{-3}) = -8 \cdot (-3) t^{-4} = 24t^{-4} \]

Para \(y(t) = (t^3 + 4)^{-1}\): \[ \dot{y}(t) = \frac{d}{dt}((t^3 + 4)^{-1}) = -1 \cdot (t^3 + 4)^{-2} \cdot 3t^2 = -3t^2(t^3 + 4)^{-2} \] \[ \ddot{y}(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2(t^3 + 4)^{-2}) = -3 \left[ 2t(t^3 + 4)^{-2} - t^2 \cdot 2(t^3 + 4)^{-3} \cdot 3t^2 \right] \] \[ \ddot{y}(t) = -3 \left[ 2t(t^3 + 4)^{-2} - 6t^4(t^3 + 4)^{-3} \right] \]

Para \(z(t) = (t^2 - 5)^2\): \[ \dot{z}(t) = \frac{d}{dt}((t^2 - 5)^2) = 2(t^2 - 5) \cdot 2t = 4t(t^2 - 5) \] \[ \ddot{z}(t) = \frac{d}{dt}(4t(t^2 - 5)) = 4(t^2 - 5) + 4t \cdot 2t = 4t^2 - 20 + 8t^2 = 12t^2 - 20 \]

Ahora evaluamos las aceleraciones en \(t = 1.5\) segundos.

Para \(x(t)\): \[ \ddot{x}(1.5) = 24(1.5)^{-4} = 24 \cdot \left(\frac{1}{1.5^4}\right) = 24 \cdot \left(\frac{1}{5.0625}\right) \approx 4.7407 \]

Para \(y(t)\): \[ \ddot{y}(1.5) = -3 \left[ 2(1.5)(1.5^3 + 4)^{-2} - 6(1.5^4)(1.5^3 + 4)^{-3} \right] \] \[ = -3 \left[ 2(1.5)(7.375)^{-2} - 6(5.0625)(7.375)^{-3} \right] \] \[ = -3 \left[ 2(1.5)(0.0184) - 6(5.0625)(0.0025) \right] \] \[ = -3 \left[ 0.0552 - 0.0759 \right] \approx 0.0621 \]

Para \(z(t)\): \[ \ddot{z}(1.5) = 12(1.5)^2 - 20 = 12(2.25) - 20 = 27 - 20 = 7 \]

La magnitud de la aceleración se calcula usando la fórmula: \[ a = \sqrt{\ddot{x}^2 + \ddot{y}^2 + \ddot{z}^2} \]

Sustituyendo los valores obtenidos: \[ a = \sqrt{(4.7407)^2 + (0.0621)^2 + (7)^2} \] \[ a = \sqrt{22.4712 + 0.0039 + 49} \approx \sqrt{71.4751} \approx 8.4521 \]

Final Answer