Questions: Find the exact value of cos(α−β) if sin α=−3/5, 3π/2<α<2π and cos β=−5/13, π/2<β<π. a) 0 12/13 b) 0 −56/65 c) 0 56/65 d) 0 −12/13

Transcript text: Find the exact value of $\cos (\alpha-\beta)$ if $\sin \alpha=-\frac{3}{5}, \frac{3 \pi}{2}<\alpha<2 \pi$ and $\cos \beta=-\frac{5}{13}, \frac{\pi}{2}<\beta<\pi$. a) $0 \frac{12}{13}$ b) $0 \quad-\frac{56}{65}$ c) $0 \frac{56}{65}$ d) $0 \quad-\frac{12}{13}$

Solution

Paso 1: Determinación de $\sin(\alpha)$ y $\cos(\alpha)$

Dado que $\sin(\alpha) = -\frac{3}{5}$ y $\alpha$ se encuentra en el cuarto cuadrante, podemos calcular $\cos(\alpha)$ utilizando la identidad pitagórica:

\[ \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \]

Sustituyendo $\sin(\alpha)$:

\[ \cos^2(\alpha) + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \]

\[ \cos^2(\alpha) + \frac{9}{25} = 1 \]

\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]

Por lo tanto, $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$ (ya que en el cuarto cuadrante $\cos$ es positivo).

Paso 2: Determinación de $\sin(\beta)$ y $\cos(\beta)$

Dado que $\cos(\beta) = -\frac{5}{13}$ y $\beta$ se encuentra en el segundo cuadrante, podemos calcular $\sin(\beta)$ utilizando la identidad pitagórica:

\[ \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1 \]

Sustituyendo $\cos(\beta)$:

\[ \sin^2(\beta) + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 \]

\[ \sin^2(\beta) + \frac{25}{169} = 1 \]

\[ \sin^2(\beta) = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \]

Por lo tanto, $\sin(\beta) = \frac{12}{13}$ (ya que en el segundo cuadrante $\sin$ es positivo).

Paso 3: Cálculo de $\cos(\alpha - \beta)$

Utilizando la fórmula de la diferencia de cosenos:

\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) \]

Sustituyendo los valores encontrados:

\[ \cos(\alpha - \beta) = \left(\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{5}{13}\right) + \left(-\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) \]

Calculando cada término: