Questions: Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass die Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen 1 bis 2n-1 genau n^2 ergibt, d. h. zu zeigen ist: 1+3+5+...+2n-1=summe von i=1 bis n (2i-1) = n^2

Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass die Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen 1 bis 2n-1 genau n^2 ergibt, d. h. zu zeigen ist:
1+3+5+...+2n-1=summe von i=1 bis n (2i-1) = n^2

Transcript text: Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass die Summe der ersten ungeraden natiirlichen Zahlen 1 bis $2 n-1$ genau $n^{2}$ ergibt, $d . h$. zu zeigen ist: \[ 1+3+5+\cdots+2 n-1=\sum_{i=1}^{n}(2 i-1)=n^{2} \]

Solution

Schritt 1: Induktionsanfang

Für $ n = 1 $ gilt die Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen: \[ 1 = 1^2 \] Somit ist die Behauptung für $ n = 1 $ wahr.

Schritt 2: Induktionsannahme

Angenommen, die Behauptung gilt für $ n = k $, das heißt: \[ 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2 \]

Schritt 3: Induktionsschritt

Wir müssen zeigen, dass die Behauptung auch für $ n = k + 1 $ gilt. Das bedeutet, wir müssen zeigen, dass: \[ 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2 \] Durch die Induktionsannahme können wir die linke Seite umschreiben: \[ k^2 + (2(k + 1) - 1) = k^2 + (2k + 2 - 1) = k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2 \] Somit ist die Behauptung auch für $ n = k + 1 $ wahr.

Endgültige Antwort

$\boxed{1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2}$

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