To solve the given function \( y = 4 \cdot \sin(2x) - 2 \) for \( 0 \leq x \leq 2\pi \), we need to:
- Generate a range of \( x \) values from 0 to \( 2\pi \).
- Compute the corresponding \( y \) values using the given function.
- Plot the function to visualize it.
Die gegebene Funktion ist \( y = 4 \cdot \sin(2x) - 2 \).
- Amplitude: Die Amplitude ist der Koeffizient vor der Sinusfunktion, also \( 4 \).
- Periode: Die Periode einer Sinusfunktion \( \sin(bx) \) ist \( \frac{2\pi}{b} \). Hier ist \( b = 2 \), also ist die Periode \( \frac{2\pi}{2} = \pi \).
- Vertikale Verschiebung: Die Funktion ist um \( -2 \) Einheiten nach unten verschoben.
- Maximalwert: Der Maximalwert der Funktion \( \sin(2x) \) ist \( 1 \). Daher ist der Maximalwert von \( y = 4 \cdot \sin(2x) - 2 \):
\[
y_{\text{max}} = 4 \cdot 1 - 2 = 2
\]
- Minimalwert: Der Minimalwert der Funktion \( \sin(2x) \) ist \( -1 \). Daher ist der Minimalwert von \( y = 4 \cdot \sin(2x) - 2 \):
\[
y_{\text{min}} = 4 \cdot (-1) - 2 = -6
\]
Die Nullstellen der Funktion \( y = 4 \cdot \sin(2x) - 2 \) treten auf, wenn \( y = 0 \):
\[
4 \cdot \sin(2x) - 2 = 0
\]
\[
4 \cdot \sin(2x) = 2
\]
\[
\sin(2x) = \frac{1}{2}
\]
Die Lösung für \( \sin(2x) = \frac{1}{2} \) ist:
\[
2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{oder} \quad 2x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{oder} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
\]
Teilen durch 2:
\[
x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{oder} \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi
\]
Für \( 0 \leq x \leq 2\pi \):
\[
x = \frac{\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}
\]
\[
\boxed{y_{\text{max}} = 2}
\]
\[
\boxed{y_{\text{min}} = -6}
\]
\[
\boxed{x = \frac{\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}}
\]
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