Questions: 확률변수 X 의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 확률 P(1 <= X <= 3) 은? X 1 2 3 4 합계 P(X=x) 1/3 1/4 a 1/5 1 (1) 3/5 (2) 4/5 (3) 5/12 (4) 7/12 (5) 7/15 확률변수 X 에 대하여 E(X)=20, V(X)=4 일 때, E(3X-1), V(3X-1), σ(3X-1) 을 차례로 구하시오.

Transcript text: 확률변수 $X$ 의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 확률 $\mathrm{P}(1 \leq X \leq 3)$ 은? \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} \hline$X$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 합계 \\ \hline $\mathrm{P}(X=x)$ & $\frac{1}{3}$ & $\frac{1}{4}$ & $a$ & $\frac{1}{5}$ & 1 \\ \hline \end{tabular} (1) $\frac{3}{5}$ (2) $\frac{4}{5}$ (3) $\frac{5}{12}$ (4) $\frac{7}{12}$ (5) $\frac{7}{15}$ 확률변수 $X$ 에 대하여 $\mathrm{E}(X)=20, \mathrm{~V}(X)=4$ 일 때, $\mathrm{E}(3 X-1), \mathrm{V}(3 X-1), \sigma(3 X-1)$ 을 차례로 구하시오.

Solution

Solution Steps

Question 01

To find the probability $\mathrm{P}(1 \leq X \leq 3)$, we need to sum the probabilities of $X$ being 1, 2, and 3. First, we need to determine the value of $a$ by using the fact that the sum of all probabilities must equal 1.

Question 02

To find $\mathrm{E}(3X - 1)$, $\mathrm{V}(3X - 1)$, and $\sigma(3X - 1)$, we use the properties of expectation and variance. Specifically, for a linear transformation $aX + b$, $\mathrm{E}(aX + b) = a\mathrm{E}(X) + b$ and $\mathrm{V}(aX + b) = a^2\mathrm{V}(X)$. The standard deviation $\sigma$ is the square root of the variance.

Step 1: 확률 변수 $ X $의 확률 분포 계산

주어진 확률 분포에서 $ P(X=1) = \frac{1}{3} $, $ P(X=2) = \frac{1}{4} $, $ P(X=4) = \frac{1}{5} $입니다. 전체 확률의 합이 1이므로, $ a = P(X=3) $를 다음과 같이 계산합니다:

\[ a = 1 - \left( P(X=1) + P(X=2) + P(X=4) \right) = 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) = 0.2167 \]

따라서 $ P(X=3) = 0.2167 $입니다.

Step 2: $ P(1 \leq X \leq 3) $ 계산

이제 $ P(1 \leq X \leq 3) $를 계산합니다:

\[ P(1 \leq X \leq 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 0.2167 = 0.8 \]

Step 3: 기대값과 분산 계산

$ E(X) = 20 $ 및 $ V(X) = 4 $일 때, $ E(3X - 1) $과 $ V(3X - 1) $를 계산합니다.

\[ E(3X - 1) = 3E(X) - 1 = 3 \times 20 - 1 = 59 \]

\[ V(3X - 1) = 3^2 V(X) = 9 \times 4 = 36 \]

표준편차 $ \sigma(3X - 1) $는 다음과 같습니다: