Questions: Vi har eit linjestykke som er 60 cm langt. Vi bøyer opp ein vinkel θ ∈[0, 2π/3] på kvar side, og vi kan tenke at vi får eit 'opent' trapes der tre av sidene er like lange. Sjå figur 1. a) Finn arealet av trapeset uttrykt som ein funksjon av θ. b) Kva for ein verdi av θ gjev størst areal av trapeset? Hint: Du kan få bruk for formelen 1=sin^2(x)+cos^2(x).

Vi har eit linjestykke som er 60 cm langt. Vi bøyer opp ein vinkel θ ∈[0, 2π/3] på kvar side, og vi kan tenke at vi får eit 'opent' trapes der tre av sidene er like lange. Sjå figur 1.
a) Finn arealet av trapeset uttrykt som ein funksjon av θ.
b) Kva for ein verdi av θ gjev størst areal av trapeset? Hint: Du kan få bruk for formelen 1=sin^2(x)+cos^2(x).

Transcript text: Vi har eit linjestykke som er 60 cm langt. Vi bøyer opp ein vinkel $\theta \in\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ pà kvar side, og vi kan tenke at vi făr eit 'opent' trapes der tre av sidene er like lange. Sją figur 1 . a) Finn arealet av trapeset uttrykt som ein funksjon av $\theta$. b) Kva for ein verdi av $\theta$ gjev størst areal av trapeset? Hint: Du kan få bruk for formelen $1=\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)$.

Solution

Solution Steps

Step 1: Understanding the Problem

We have a line segment that is 60 cm long. We bend it at an angle θ on each side, forming an open trapezoid where three sides are equal in length. We need to find the area of the trapezoid as a function of θ and determine the value of θ that maximizes the area.

Step 2: Analyzing the Trapezoid

The trapezoid has three sides of equal length (20 cm each) and one base. The base length can be expressed in terms of θ. The height of the trapezoid can also be expressed in terms of θ.

Step 3: Expressing the Base Length

The base length of the trapezoid can be found using trigonometry. Each segment of the base is 20 cm * cos(θ). Therefore, the total base length is: \[ \text{Base} = 2 \times 20 \cos(\theta) = 40 \cos(\theta) \]

Step 4: Expressing the Height

The height of the trapezoid can be found using the sine function: \[ \text{Height} = 20 \sin(\theta) \]

Step 5: Finding the Area of the Trapezoid

The area $ A $ of the trapezoid can be expressed as: \[ A = \frac{1}{2} \times (\text{Base}_1 + \text{Base}_2) \times \text{Height} \] Since the top base is 0 (open trapezoid), the area simplifies to: \[ A = \frac{1}{2} \times 40 \cos(\theta) \times 20 \sin(\theta) \] \[ A = 400 \cos(\theta) \sin(\theta) \]

Step 6: Simplifying the Area Expression

Using the trigonometric identity $ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) $, we can simplify the area expression: \[ A = 200 \sin(2\theta) \]

Step 7: Maximizing the Area

To maximize the area, we need to find the value of θ that maximizes $ \sin(2\theta) $. The maximum value of $ \sin(2\theta) $ is 1, which occurs when $ 2\theta = \frac{\pi}{2} $ or $ \theta = \frac{\pi}{4} $.