To determine if the points \( P(3,-1,1) \), \( Q(4,1,4) \), and \( R(6,0,4) \) form a right triangle, we need to calculate the distances between each pair of points. If the square of the longest distance is equal to the sum of the squares of the other two distances, then the points form a right triangle.
Calculamos las distancias entre los puntos \( P(3, -1, 1) \), \( Q(4, 1, 4) \) y \( R(6, 0, 4) \):
La distancia \( PQ \) se calcula como:
\[
PQ = \sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - (-1))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742
\]
La distancia \( QR \) se calcula como:
\[
QR = \sqrt{(6 - 4)^2 + (0 - 1)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5} \approx 2.236
\]
La distancia \( RP \) se calcula como:
\[
RP = \sqrt{(6 - 3)^2 + (0 - (-1))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 1 + 9} = \sqrt{19} \approx 4.359
\]
Ordenamos las distancias calculadas:
\[
distancias = [2.236, 3.742, 4.359]
\]
Para verificar si los puntos forman un triángulo rectángulo, comprobamos si se cumple el teorema de Pitágoras:
\[
(4.359)^2 \stackrel{?}{=} (2.236)^2 + (3.742)^2
\]
Calculamos:
\[
(4.359)^2 \approx 19.004
\]
\[
(2.236)^2 + (3.742)^2 \approx 4.995 + 13.973 \approx 18.968
\]
Dado que \( 19.004 \approx 18.968 \) es verdadero, se concluye que los puntos \( P \), \( Q \) y \( R \) forman un triángulo rectángulo.
Los puntos \( P(3, -1, 1) \), \( Q(4, 1, 4) \) y \( R(6, 0, 4) \) son los vértices de un triángulo rectángulo.
\(\boxed{\text{Sí, forman un triángulo rectángulo.}}\)
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