Questions: Pregunta 9 Si f(x)=∫1^x^2 1/t dt, ¿Cuál es la derivada f′(x) ? x^2 1/x^2 2 x 2/x

Transcript text: Pregunta 9 Si $f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{1}{t} d t$, ¿Cuál es la derivada $\mathrm{f}^{\prime}(x)$ ? $x^{2}$ $\frac{1}{x^{2}}$ $2 x$ $\frac{2}{x}$

Solution

To find the derivative of the function $ f(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{1}{t} \, dt $, we can use the Fundamental Theorem of Calculus and the chain rule. The Fundamental Theorem of Calculus tells us that if $ F(t) $ is an antiderivative of $ \frac{1}{t} $, then the derivative of the integral with respect to $ x $ is $ \frac{d}{dx} \left( F(x^2) - F(1) \right) $. Applying the chain rule, we differentiate $ F(x^2) $ with respect to $ x $.

Paso 1: Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo

Dado $ f(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{1}{t} \, dt $, podemos usar el Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar la derivada. Este teorema establece que si $ F(t) $ es una antiderivada de $ \frac{1}{t} $, entonces:

\[ f(x) = F(x^2) - F(1) \]

Paso 2: Calcular la Antiderivada

La antiderivada de $ \frac{1}{t} $ es $ \log |t| $. Por lo tanto, evaluamos:

\[ F(x^2) = \log(x^2) \]

Paso 3: Aplicar la Regla de la Cadena

Para encontrar $ f'(x) $, diferenciamos $ F(x^2) $ con respecto a $ x $ usando la regla de la cadena:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \log(x^2) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x} \]

Respuesta Final

La derivada de $ f(x) $ es $ f'(x) = \frac{2}{x} $. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción $ \frac{2}{x} $.

\[ \boxed{\frac{2}{x}} \]

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