Questions: 7. Escriba las siguientes proposiciones en forma simbólica. (a) El cuadrado de todo número real es un número real mayor o igual que cero. (b) Todo elemento de -2,-1,0,2, sqrt(2) que es entero es un número par. (c) Para todo par de números reales a, b se cumple que (a+b)^2=a^2+b^2. (d) Sea x un número real cualesquiera. Es posible encontrar un número real y cuyo producto por x es igual a 1.

Solution Steps

(a) The proposition states that the square of any real number is a real number greater than or equal to zero. This can be written symbolically as: ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0.

(b) The proposition states that every element of the set {-2, -1, 0, 2, √2} that is an integer is an even number. This can be written symbolically as: ∀x ∈ {-2, -1, 0, 2, √2}, if x ∈ ℤ then x is even.

(c) The proposition states that for any pair of real numbers a and b, (a + b)² = a² + b². This can be written symbolically as: ∀a, b ∈ ℝ, (a + b)² = a² + b².

Primero, leemos cuidadosamente cada proposición para entender lo que se nos pide expresar en forma simbólica.

La proposición (a) dice: "El cuadrado de todo número real es un número real mayor o igual que cero."

En forma simbólica, esto se puede expresar como: \[ \forall x \in \mathbb{R}, \, x^2 \geq 0 \]

La proposición (b) dice: "Todo elemento de \(\{-2,-1,0,2, \sqrt{2}\}\) que es entero es un número par."

En forma simbólica, esto se puede expresar como: \[ \forall x \in \{-2, -1, 0, 2, \sqrt{2}\}, \, (x \in \mathbb{Z} \implies x \text{ es par}) \]

La proposición (c) dice: "Para todo par de números reales \(a, b\) se cumple que \((a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}\)."

En forma simbólica, esto se puede expresar como: \[ \forall a, b \in \mathbb{R}, \, (a+b)^2 = a^2 + b^2 \]

La proposición (d) dice: "Sea \(x\) un número real cualesquiera. Es posible encontrar un número real \(y\) cuyo producto por \(x\) es igual a 1."

En forma simbólica, esto se puede expresar como: \[ \forall x \in \mathbb{R}, \, \exists y \in \mathbb{R} \, (x \cdot y = 1) \]

Final Answer