Questions: Calcular la integral indefinida. [ int fraca x^4-b x^3-c x^2x^5 d x ] A) a ln x+fracbx+fracc2 x^2+C B) a ln x+fracbx-fraccx^2+C C) a ln x-fracbx-fraccx^2+C D) a ln x-fracbx+fracc2 x^2+C

$Calcular la integral indefinida. [ int fraca x^4-b x^3-c x^2x^5 d x ] A) a ln x+fracbx+fracc2 x^2+C B) a ln x+fracbx-fraccx^2+C C) a ln x-fracbx-fraccx^2+C D) a ln x-fracbx+fracc2 x^2+C$

Transcript text: Calcular la integral indefinida. \[ \int \frac{a x^{4}-b x^{3}-c x^{2}}{x^{5}} d x \] A) $a \ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{2 x^{2}}+C$ B) $a \ln x+\frac{b}{x}-\frac{c}{x^{2}}+C$ C) $a \ln x-\frac{b}{x}-\frac{c}{x^{2}}+C$ D) $a \ln x-\frac{b}{x}+\frac{c}{2 x^{2}}+C$

Solution

To solve the integral, we first simplify the integrand by dividing each term in the numerator by $x^5$. This will give us a sum of simpler terms that we can integrate individually. After simplifying, we integrate each term using standard integration rules.

Paso 1: Simplificar el integrando

Primero, simplificamos el integrando dividiendo cada término del numerador por $x^5$: \[ \frac{a x^{4} - b x^{3} - c x^{2}}{x^{5}} = \frac{a x^{4}}{x^{5}} - \frac{b x^{3}}{x^{5}} - \frac{c x^{2}}{x^{5}} = \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{2}} - \frac{c}{x^{3}} \]

Paso 2: Integrar cada término

Integramos cada término por separado: \[ \int \left( \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{2}} - \frac{c}{x^{3}} \right) dx \]

Para el primer término: \[ \int \frac{a}{x} dx = a \ln x \]

Para el segundo término: \[ \int -\frac{b}{x^{2}} dx = b \left( -\frac{1}{x} \right) = \frac{b}{x} \]

Para el tercer término: \[ \int -\frac{c}{x^{3}} dx = c \left( -\frac{1}{2x^{2}} \right) = -\frac{c}{2x^{2}} \]

Paso 3: Combinar los resultados

Combinamos los resultados de las integrales: \[ a \ln x + \frac{b}{x} - \frac{c}{2 x^{2}} + C \]

Respuesta Final

La respuesta correcta es: \[ \boxed{D} \]

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