Questions: Determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y=ln sqrt3 x-5, en el punto de ordenada y=0. 3 / 2 1 / 3 2 -3 / 10

Transcript text: Q2 2 Puntos Determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $y=\ln \sqrt{3 x-5}$, en el punto de ordenada $\mathrm{y}=0$. $3 / 2$ $1 / 3$ 2 $-3 / 10$

Solution

To determine the slope of the tangent line to the graph of the function $ y = \ln \sqrt{3x - 5} $ at the point where $ y = 0 $, we need to follow these steps:

Find the x-coordinate where $ y = 0 $.
Compute the derivative of the function to get the slope of the tangent line.
Evaluate the derivative at the x-coordinate found in step 1.

Paso 1: Encontrar la coordenada $ x $ donde $ y = 0 $

Dada la función $ y = \ln \sqrt{3x - 5} $, igualamos $ y $ a 0 y resolvemos para $ x $: \[ 0 = \ln \sqrt{3x - 5} \] \[ \sqrt{3x - 5} = e^0 = 1 \] \[ 3x - 5 = 1 \] \[ 3x = 6 \] \[ x = 2 \]

Paso 2: Calcular la derivada de la función

La función es $ y = \ln \sqrt{3x - 5} $. Primero, simplificamos la función: \[ y = \ln (3x - 5)^{1/2} = \frac{1}{2} \ln (3x - 5) \] Luego, derivamos con respecto a $ x $: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3x - 5} \cdot 3 = \frac{3}{2(3x - 5)} \]

Paso 3: Evaluar la derivada en $ x = 2 $

Sustituimos $ x = 2 $ en la derivada: \[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = \frac{3}{2(3 \cdot 2 - 5)} = \frac{3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} \]

Respuesta Final

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $ y = \ln \sqrt{3x - 5} $ en el punto donde $ y = 0 $ es: \[ \boxed{\frac{3}{2}}

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