La fonction donnée est \( f(x) = \cos(\pi x) \), et nous devons développer cette fonction en série de Taylor autour du point \( a = 1 \).
La série de Taylor d'une fonction \( f(x) \) autour de \( a = 1 \) est donnée par :
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(1)}{n!} (x-1)^n
\]
où \( f^{(n)}(1) \) est la \( n \)-ième dérivée de \( f(x) \) évaluée en \( x = 1 \).
Calculons les premières dérivées de \( f(x) = \cos(\pi x) \) :
\[
f'(x) = -\pi \sin(\pi x)
\]
\[
f''(x) = -\pi^2 \cos(\pi x)
\]
\[
f'''(x) = \pi^3 \sin(\pi x)
\]
\[
f''''(x) = \pi^4 \cos(\pi x)
\]
et ainsi de suite.
Évaluons ces dérivées en \( x = 1 \) :
\[
f(1) = \cos(\pi \cdot 1) = \cos(\pi) = -1
\]
\[
f'(1) = -\pi \sin(\pi \cdot 1) = -\pi \cdot 0 = 0
\]
\[
f''(1) = -\pi^2 \cos(\pi \cdot 1) = -\pi^2 \cdot (-1) = \pi^2
\]
\[
f'''(1) = \pi^3 \sin(\pi \cdot 1) = \pi^3 \cdot 0 = 0
\]
\[
f''''(1) = \pi^4 \cos(\pi \cdot 1) = \pi^4 \cdot (-1) = -\pi^4
\]
et ainsi de suite.
En utilisant les dérivées calculées, la série de Taylor de \( f(x) \) autour de \( a = 1 \) est :
\[
f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3 + \frac{f''''(1)}{4!}(x-1)^4 + \cdots
\]
En substituant les valeurs des dérivées :
\[
f(x) = -1 + 0 \cdot (x-1) + \frac{\pi^2}{2!}(x-1)^2 + 0 \cdot (x-1)^3 + \frac{-\pi^4}{4!}(x-1)^4 + \cdots
\]
Simplifions :
\[
f(x) = -1 + \frac{\pi^2}{2}(x-1)^2 - \frac{\pi^4}{24}(x-1)^4 + \cdots
\]
La série de Taylor peut également être exprimée en utilisant la notation sigma. Observons que les termes impairs sont nuls, et les termes pairs alternent en signe. Ainsi, la série peut s'écrire :
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \pi^{2n}}{(2n)!} (x-1)^{2n}
\]
où \( n \) est un entier non négatif.
Sous la forme du développement d'une somme :
\[
f(x) = -1 + \frac{\pi^2}{2}(x-1)^2 - \frac{\pi^4}{24}(x-1)^4 + \cdots
\]
Sous la forme en utilisant la notation sigma :
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \pi^{2n}}{(2n)!} (x-1)^{2n}
\]
![Question 8
[10 points]
Développez la fonction f définie par f(x)=cos (πx) en série de Taylor autour de a=1. Vous devez exprimer votre réponse de deux manières différentes :
- sous la forme du développement d'une somme;
- sous la forme en utilisant la notation sigma ( Σ ).](https://thumbnail.justsolvely.com/seoQuestionThumb/1c4efe80-2835-45d4-981a-ae39e48dfe27.webp)
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