Questions: Si deseas calcular la integral indefinida ∫ x/(√(1-x^2)) dx, ¿Cuál es la sustitución trigonométrica y la identidad trigonométrica que puedes utilizar para resolverla? u=sec(x), √(1-x^2)=tan(u) u=tan(x), √(1-x^2)=sec(u) u=sin(x), √(1-x^2)=cos(u) u=cos(x), √(1-x^2)=sin(u)

To solve the integral $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$, we can use a trigonometric substitution. The appropriate substitution for this integral is $u = \sin(x)$, because it simplifies the square root term $\sqrt{1-x^2}$ to $\cos(u)$. This substitution leverages the Pythagorean identity $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

1. Use the substitution $x = \sin(u)$, which implies $dx = \cos(u) du$.
2. Substitute $x$ and $dx$ in the integral.
3. Simplify the integral using the trigonometric identity $\sqrt{1 - \sin^2(u)} = \cos(u)$.
4. Integrate with respect to $u$.
5. Substitute back $u = \arcsin(x)$ to get the final answer in terms of $x$.

Para resolver la integral $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$, utilizamos la sustitución $x = \sin(u)$, lo que implica que $dx = \cos(u) du$.

Sustituimos $x$ y $dx$ en la integral: $$\int \frac{\sin(u)}{\sqrt{1-\sin^2(u)}} \cos(u) du$$

Utilizamos la identidad trigonométrica $\sqrt{1-\sin^2(u)} = \cos(u)$ para simplificar la integral: $$\int \frac{\sin(u)}{\cos(u)} \cos(u) du = \int \sin(u) du$$

Integramos con respecto a $u$: $$\int \sin(u) du = -\cos(u) + C$$

Sustituimos de vuelta $u = \arcsin(x)$: $$-\cos(\arcsin(x)) + C$$

Utilizamos la identidad $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}$ para obtener la respuesta final: $$-\sqrt{1-x^2} + C$$

$$\boxed{-\sqrt{1-x^2} + C}$$