Questions: Karen tiene 440 metros de valla y quiere cercar un campo rectangular. Supongamos que el campo tiene una longitud lateral de x metros, tal como se muestra a continuación. (a) Hallar una función para el área A(x) del campo (en metros cuadrados) en términos de x. A(x)= (b) ¿Qué longitud lateral x nos da el área máxima que el campo puede tener? Longitud lateral x : metros (c) ¿Cuál es el área máxima que el campo puede tener? Área máxima: metros cuadrados

Karen tiene 440 metros de valla. El perímetro del rectángulo es $2x + 2y = 440$, donde _y_ es la longitud del otro lado. Resolviendo para _y_, obtenemos $y = 220 - x$.

El área del campo rectangular, $A(x)$, se calcula multiplicando las longitudes de sus lados. Sustituyendo la expresión para _y_ que encontramos en el paso 1, obtenemos $A(x) = x(220 - x) = 220x - x^2$.

Para encontrar el valor de _x_ que maximiza el área, encontramos el vértice de la parábola representada por la función $A(x) = -x^2 + 220x$. La coordenada x del vértice de una parábola en la forma $ax^2 + bx + c$ se da por $x = -\frac{b}{2a}$. En este caso, $a = -1$ y $b = 220$, por lo que $x = -\frac{220}{2(-1)} = 110$ metros.

Sustituimos $x = 110$ en la función del área: $A(110) = 220(110) - (110)^2 = 24200 - 12100 = 12100$ metros cuadrados.

(a) $A(x) = 220x - x^2$ (b) 110 metros (c) 12100 metros cuadrados