Questions: lim (n -> infinity) sum(i=1 to n) (1 + (2i/n))^2 * (2/n)

To solve this problem, we recognize it as a Riemann sum, which approximates the integral of a function over an interval. The given expression can be interpreted as the Riemann sum for the integral of the function \( f(x) = (1 + 2x)^2 \) over the interval from 0 to 1. As \( n \) approaches infinity, the sum converges to the integral of \( f(x) \) from 0 to 1.

La expresión dada es \[ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{2 i}{n}\right)^{2}\left(\frac{2}{n}\right) \] que se puede interpretar como una suma de Riemann para la función \( f(x) = (1 + 2x)^2 \) en el intervalo de \( 0 \) a \( 1 \).

Para encontrar el límite de la suma, calculamos la integral definida de \( f(x) \) desde \( 0 \) hasta \( 1 \): \[ \int_{0}^{1} (1 + 2x)^2 \, dx \]

Al evaluar la integral, obtenemos: \[ \int_{0}^{1} (1 + 2x)^2 \, dx = \frac{13}{3} \]

La respuesta es \[ \boxed{\frac{13}{3}} \]