Questions: Definizione di funzione pari e dispari - Teorema fondamentale dell'aritmetica - Definizione di logaritmo - Definizione di funzione inversa e significato geometrico (simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante) - Definizione di funzioni monotone - Definizione di intorno - Definizione di massimo e minimo assoluto - Definizione di massimo e minimo locale - Definizione di maggiorante e minorante - Definizione di estremo superiore e estremo inferiore - Definizione di successione - Definizione di funzione limitata - Definizione di punto di accumulazione e punto isolato - Definizione di limite - Definizione di limite destro e sinistro - Teorema di unicità del limite - Definizione di successione geometrica - Definizione di successione monotona - Teorema (esistenza del limite per successioni monotone) - Teorema (esistenza del limite per funzioni monotone) - Teorema del prodotto tra una successione limitata e una tendente a 0 - Teorema del confronto - Teorema della permanenza del segno - Definizione di infiniti e infinitesimi - Confronto tra infiniti e infinitesimi - Teorema di cancellazione per infiniti - Teorema di cancellazione per infinitesimi - Definizione di funzione continua - Definizione di funzione continua da destra o da sinistra - Teorema (continua se e solo se continua da destra e da sinistra) - Definizione di funzione discontinua e tipi di discontinuità - Teorema degli zeri - Teorema dei valori intermedi (o di Darboux) - Teorema di Weirstrass - Teorema invertibilità e continuità - Definizione di derivata - Significato geometrico del rapporto incrementale coefficiente angolare della retta secante che passa per A e B - Significato geometrico di derivata coefficiente angolare della retta tangente al grafico - Definizione di derivata destra e sinistra - Punto di cuspide, punto angoloso e punto di flesso - Teorema (se è derivabile in un punto allora è continua in quel punto) + dimostrazione

△ Definición de función par e impar ○ Descripción de la función par ▷ Una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje Y. ☼ Una función \( f(x) \) es par si \( f(-x) = f(x) \) para todo \( x \) en su dominio. Esto implica que su gráfica es simétrica respecto al eje Y. ○ Descripción de la función impar ▷ Una función es impar si su gráfica es simétrica respecto al origen. ☼ Una función \( f(x) \) es impar si \( f(-x) = -f(x) \) para todo \( x \) en su dominio. Esto implica que su gráfica es simétrica respecto al origen. ✧ Una función es par si \( f(-x) = f(x) \) y es impar si \( f(-x) = -f(x) \).

△ Teorema fundamental de la aritmética ○ Descripción del teorema ▷ Todo número entero mayor que 1 se puede expresar como un producto único de números primos. ☼ El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier número entero mayor que 1 puede descomponerse de manera única en un producto de números primos, salvo por el orden de los factores. ✧ Todo número entero mayor que 1 es un producto único de números primos.

△ Definición de logaritmo ○ Descripción del logaritmo ▷ El logaritmo es el exponente al cual se eleva la base para obtener un número. ☼ El logaritmo de un número positivo \( a \) en base \( b \) (donde \( b > 0 \) y \( b \neq 1 \)) es el exponente \( c \) tal que \( b^c = a \). Se denota como \( \log_b(a) = c \). ✧ El logaritmo de \( a \) en base \( b \) es \( c \) si \( b^c = a \).

△ Definición de función inversa y significado geométrico ○ Descripción de la función inversa ▷ Una función tiene inversa si es biyectiva. ☼ Una función \( f \) tiene una inversa \( f^{-1} \) si y solo si es biyectiva. La función inversa cumple \( f^{-1}(f(x)) = x \) y \( f(f^{-1}(y)) = y \). Geométricamente, la gráfica de \( f^{-1} \) es simétrica a la de \( f \) respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (la recta \( y = x \)). ✧ Una función inversa existe si la función es biyectiva y su gráfica es simétrica respecto a \( y = x \).

△ Definición de funciones monótonas ○ Descripción de funciones monótonas ▷ Las funciones monótonas son crecientes o decrecientes. ☼ Una función \( f \) es monótona creciente si \( f(x_1) \leq f(x_2) \) para \( x_1 < x_2 \). Es estrictamente creciente si \( f(x_1) < f(x_2) \). Es monótona decreciente si \( f(x_1) \geq f(x_2) \) y estrictamente decreciente si \( f(x_1) > f(x_2) \). ✧ Las funciones monótonas pueden ser crecientes o decrecientes, estrictamente o no.

△ Definición de entorno ○ Descripción de entorno ▷ Un entorno es un conjunto que contiene un intervalo abierto alrededor de un punto. ☼ Un entorno de un punto \( x_0 \) es un conjunto que incluye un intervalo abierto \( (x_0-\delta, x_0+\delta) \) para algún \( \delta > 0 \). ✧ Un entorno de \( x_0 \) es un conjunto que contiene un intervalo abierto alrededor de \( x_0 \).

△ Definición de máximo y mínimo absoluto ○ Descripción de máximo y mínimo absoluto ▷ El máximo y mínimo absoluto son los valores extremos de una función en su dominio. ☼ Una función \( f \) tiene un máximo absoluto en \( x_0 \) si \( f(x_0) \geq f(x) \) para todo \( x \) en su dominio. Tiene un mínimo absoluto en \( x_0 \) si \( f(x_0) \leq f(x) \) para todo \( x \). ✧ El máximo absoluto es el valor más alto y el mínimo absoluto es el más bajo en el dominio de la función.

△ Definición de máximo y mínimo local ○ Descripción de máximo y mínimo local ▷ El máximo y mínimo local son los valores extremos en un entorno de un punto. ☼ Una función \( f \) tiene un máximo local en \( x_0 \) si existe un entorno de \( x_0 \) tal que \( f(x_0) \geq f(x) \) para todo \( x \) en ese entorno. Tiene un mínimo local si \( f(x_0) \leq f(x) \) en ese entorno. ✧ El máximo local es el valor más alto y el mínimo local es el más bajo en un entorno de un punto.

△ Definición de mayorante y minorante ○ Descripción de mayorante y minorante ▷ Un mayorante es un límite superior y un minorante es un límite inferior de un conjunto. ☼ Un número \( M \) es un mayorante de un conjunto \( S \) si \( x \leq M \) para todo \( x \) en \( S \). Un número \( m \) es un minorante si \( m \leq x \) para todo \( x \) en \( S \). ✧ Un mayorante es un límite superior y un minorante es un límite inferior de un conjunto.

△ Definición de extremo superior e inferior ○ Descripción de extremo superior e inferior ▷ El extremo superior es el menor de los mayorantes y el inferior es el mayor de los minorantes. ☼ El extremo superior (\(\sup S\)) de un conjunto \( S \) es el menor de todos los mayorantes de \( S \). El extremo inferior (\(\inf S\)) es el mayor de todos los minorantes de \( S \). ✧ El extremo superior es el menor mayorante y el inferior es el mayor minorante de un conjunto.

△ Definición de sucesión ○ Descripción de sucesión ▷ Una sucesión es una función con dominio en los números naturales. ☼ Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales, denotada como \(\{a_n\}\) donde \(a_n\) es el valor de la función en \(n\). ✧ Una sucesión es una función con dominio en los números naturales.

△ Definición de función limitada ○ Descripción de función limitada ▷ Una función es limitada si sus valores están acotados por un número. ☼ Una función \( f \) es limitada si existe un número \( M > 0 \) tal que \(|f(x)| \leq M\) para todo \( x \) en su dominio. ✧ Una función es limitada si sus valores están acotados por un número \( M \).

△ Definición de punto de acumulación y punto aislado ○ Descripción de punto de acumulación ▷ Un punto de acumulación tiene otros puntos del conjunto en cualquier entorno. ☼ Un punto \( x_0 \) es un punto de acumulación de un conjunto \( S \) si todo entorno de \( x_0 \) contiene al menos un punto de \( S \) distinto de \( x_0 \). ○ Descripción de punto aislado ▷ Un punto aislado no tiene otros puntos del conjunto en su entorno. ☼ Un punto \( x_0 \) es un punto aislado de un conjunto \( S \) si \( x_0 \) pertenece a \( S \) y existe un entorno de \( x_0 \) que no contiene ningún otro punto de \( S \). ✧ Un punto de acumulación tiene otros puntos del conjunto en cualquier entorno, mientras que un punto aislado no.

△ Definición de límite ○ Descripción de límite ▷ El límite describe el comportamiento de una función cuando se aproxima a un valor. ☼ El límite de una función \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( x_0 \) es \( L \), y se escribe \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\), si para todo \(\varepsilon > 0\) existe un \(\delta > 0\) tal que si \(0 < |x - x_0| < \delta\), entonces \(|f(x) - L| < \varepsilon\). ✧ El límite describe el comportamiento de una función cuando \( x \) se aproxima a \( x_0 \).

△ Definición de límite derecho e izquierdo ○ Descripción de límite derecho ▷ El límite derecho considera valores de \( x \) mayores que \( x_0 \). ☼ El límite derecho de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( x_0 \) es \( L \), y se escribe \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L\), si para todo \(\varepsilon > 0\) existe un \(\delta > 0\) tal que si \(x_0 < x < x_0 + \delta\), entonces \(|f(x) - L| < \varepsilon\). ○ Descripción de límite izquierdo ▷ El límite izquierdo considera valores de \( x \) menores que \( x_0 \). ☼ El límite izquierdo de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( x_0 \) es \( L \), y se escribe \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L\), si para todo \(\varepsilon > 0\) existe un \(\delta > 0\) tal que si \(x_0 - \delta < x < x_0\), entonces \(|f(x) - L| < \varepsilon\). ✧ El límite derecho considera valores mayores y el izquierdo menores que \( x_0 \).

△ Teorema de unicidad del límite ○ Descripción del teorema ▷ El límite de una función en un punto es único si existe. ☼ El teorema de unicidad del límite establece que si una función \( f \) tiene límite cuando \( x \) tiende a \( x_0 \), entonces este límite es único. ✧ El límite de una función en un punto es único si existe.

△ Definición de sucesión geométrica ○ Descripción de sucesión geométrica ▷ Una sucesión geométrica tiene una razón constante entre términos consecutivos. ☼ Una sucesión geométrica es de la forma \(\{ar^{n-1}\}\) donde \( a \) es el primer término y \( r \) es la razón. ✧ Una sucesión geométrica tiene una razón constante entre términos consecutivos.

△ Definición de sucesión monótona ○ Descripción de sucesión monótona ▷ Una sucesión monótona es creciente o decreciente. ☼ Una sucesión \(\{a_n\}\) es monótona creciente si \( a_n \leq a_{n+1} \) para todo \( n \). Es monótona decreciente si \( a_n \geq a_{n+1} \) para todo \( n \). ✧ Una sucesión monótona es creciente o decreciente.

△ Teorema (existencia del límite para sucesiones monótonas) ○ Descripción del teorema ▷ Una sucesión monótona y acotada tiene un límite. ☼ El teorema establece que toda sucesión monótona y acotada tiene un límite. ✧ Una sucesión monótona y acotada tiene un límite.

△ Teorema (existencia del límite para funciones monótonas) ○ Descripción del teorema ▷ Una función monótona y acotada en un intervalo tiene límites laterales. ☼ Si una función \( f \) es monótona en un intervalo \( (a,b) \) y está acotada en ese intervalo, entonces existen los límites laterales en cada punto del intervalo. ✧ Una función monótona y acotada en un intervalo tiene límites laterales.

△ Teorema del producto entre una sucesión limitada y una tendente a 0 ○ Descripción del teorema ▷ El producto de una sucesión limitada y una que tiende a 0 también tiende a 0. ☼ Si \(\{a_n\}\) es una sucesión limitada y \(\{b_n\}\) es una sucesión que tiende a 0, entonces la sucesión \(\{a_n \cdot b_n\}\) tiende a 0. ✧ El producto de una sucesión limitada y una que tiende a 0 también tiende a 0.

△ Teorema del confronto (o teorema del sándwich) ○ Descripción del teorema ▷ Si dos sucesiones convergen al mismo límite, una tercera acotada entre ellas también converge a ese límite. ☼ Si \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\) y \(\{c_n\}\) son sucesiones tales que \(a_n \leq b_n \leq c_n\) para todo \(n\) a partir de cierto índice, y \(\lim a_n = \lim c_n = L\), entonces \(\lim b_n = L\). ✧ Si dos sucesiones convergen al mismo límite, una tercera acotada entre ellas también converge a ese límite.

△ Teorema de la permanencia del signo ○ Descripción del teorema ▷ Si el límite de una función es positivo o negativo, la función mantiene el signo en un entorno. ☼ Si \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\) y \(L > 0\) (o \(L < 0\)), entonces existe un entorno de \(x_0\) tal que \(f(x) > 0\) (o \(f(x) < 0\)) para todo \(x\) en ese entorno, distinto de \(x_0\). ✧ Si el límite de una función es positivo o negativo, la función mantiene el signo en un entorno.

△ Definición de infinitos e infinitésimos ○ Descripción de infinitos ▷ Una sucesión es infinita si su límite es infinito. ☼ Una sucesión \(\{a_n\}\) es un infinito si \(\lim a_n = \infty\). ○ Descripción de infinitésimos ▷ Una sucesión es un infinitésimo si su límite es cero. ☼ Una sucesión \(\{a_n\}\) es un infinitésimo si \(\lim a_n = 0\). ✧ Una sucesión es infinita si su límite es infinito y es un infinitésimo si su límite es cero.

△ Confronto entre infinitos e infinitésimos ○ Descripción de infinitésimos de orden superior ▷ Un infinitésimo es de orden superior si su cociente con otro infinitésimo tiende a cero. ☼ Dados dos infinitésimos \(a_n\) y \(b_n\), se dice que \(a_n\) es un infinitésimo de orden superior a \(b_n\) si \(\lim(a_n/b_n) = 0\). ○ Descripción de infinitos de orden superior ▷ Un infinito es de orden superior si su cociente con otro infinito tiende a infinito. ☼ Dados dos infinitos \(a_n\) y \(b_n\), se dice que \(a_n\) es un infinito de orden superior a \(b_n\) si \(\lim(a_n/b_n) = \infty\). ✧ Un infinitésimo es de orden superior si su cociente con otro infinitésimo tiende a cero, y un infinito es de orden superior si su cociente con otro infinito tiende a infinito.

△ Teorema de cancelación para infinitos ○ Descripción del teorema ▷ El producto de un infinito y un número distinto de cero es infinito. ☼ Si \(\lim a_n = \infty\) y \(\lim b_n = L \neq 0\), entonces \(\lim(a_n \cdot b_n) = \infty \cdot \text{sgn}(L)\). ✧ El producto de un infinito y un número distinto de cero es infinito.

△ Teorema de cancelación para infinitésimos ○ Descripción del teorema ▷ El producto de un infinitésimo y un número distinto de cero es cero. ☼ Si \(\lim a_n = 0\) y \(\lim b_n = L \neq 0\), entonces \(\lim(a_n \cdot b_n) = 0\). ✧ El producto de un infinitésimo y un número distinto de cero es cero.

△ Definición de función continua ○ Descripción de función continua ▷ Una función es continua en un punto si el límite en ese punto es igual al valor de la función. ☼ Una función \( f \) es continua en un punto \( x_0 \) si \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\). ✧ Una función es continua en un punto si el límite en ese punto es igual al valor de la función.

△ Definición de función continua por derecha o por izquierda ○ Descripción de función continua por derecha ▷ Una función es continua por derecha si el límite derecho es igual al valor de la función. ☼ Una función \( f \) es continua por derecha en \( x_0 \) si \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\). ○ Descripción de función continua por izquierda ▷ Una función es continua por izquierda si el límite izquierdo es igual al valor de la función. ☼ Una función \( f \) es continua por izquierda en \( x_0 \) si \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\). ✧ Una función es continua por derecha si el límite derecho es igual al valor de la función y continua por izquierda si el límite izquierdo es igual al valor de la ☺ Resumen de conceptos matemáticos fundamentales:

• Funciones pares e impares: f(-x)=f(x) y f(-x)=-f(x) respectivamente
• Teorema fundamental de la aritmética: todo número entero >1 es producto único de primos
• Logaritmo: log_b(a)=c si b^c=a
• Función inversa: simétrica respecto a y=x
• Funciones monótonas: crecientes o decrecientes
• Límites: definen el comportamiento de funciones cuando x se aproxima a un valor
• Continuidad: lim(x→x₀)f(x)=f(x₀)
• Derivada: f'(x₀)=lim(h→0)[f(x₀+h)-f(x₀)]/h
• Teoremas importantes: unicidad del límite, teorema de los ceros, valores intermedios, Weierstrass
• Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto