Questions: (xy-y) dy/dx = 2/(3x-2)

To solve the given differential equation using separation of variables, we need to rearrange the terms so that all terms involving \( y \) are on one side and all terms involving \( x \) are on the other side. This involves moving the \( \frac{dy}{dx} \) term to one side and integrating both sides with respect to their respective variables.

La ecuación diferencial dada es \[ (xy - y) \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3x - 2}. \] Utilizamos el método de separación de variables para reorganizar la ecuación.

Separando las variables, obtenemos: \[ \int \frac{1}{x - 1} \, dx = \int \frac{2}{3x - 2} \, dx. \] Al integrar, encontramos: \[ \log|x - 1| = \frac{2}{3} \log|3x - 2| + C, \] donde \( C \) es una constante de integración.

La solución general de la ecuación diferencial se expresa como: \[ Y(x) = \pm \sqrt{C_1 + 4\log|x - 1| - 4\log|3x - 2|}. \] Esto se puede simplificar a: \[ Y(x) = \pm \sqrt{C_1 + 4\log\left(\frac{x - 1}{(3x - 2)^4}\right)}. \]

La solución general de la ecuación diferencial es: \[ \boxed{Y(x) = \pm \sqrt{C_1 + 4\log\left(\frac{x - 1}{(3x - 2)^4}\right)}} \]