Questions: Dada a curva f(x)=x^2-2x+4 calcule o coeficiente angular da reta tangente a curva f(x) no ponto P(1, f(1)) e dê a equação da reta tangente. (y-y0)=m(x-x0)

Solution Steps

To find the equation of the tangent line to the curve \( f(x) = x^2 - 2x + 4 \) at the point \( P(1, f(1)) \), we need to:

1. Calculate the derivative \( f'(x) \) to find the slope of the tangent line at any point \( x \).
2. Evaluate \( f'(1) \) to get the slope \( m \) at \( x = 1 \).
3. Find the coordinates of the point \( P \) by evaluating \( f(1) \).
4. Use the point-slope form of the line equation \( (y - y_0) = m(x - x_0) \) to write the equation of the tangent line.

A função dada é \( f(x) = x^2 - 2x + 4 \). Para encontrar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada de \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 4) = 2x - 2 \]

Para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto \( P(1, f(1)) \), avaliamos a derivada em \( x = 1 \): \[ f'(1) = 2(1) - 2 = 0 \] Portanto, a inclinação \( m \) da reta tangente é \( 0 \).

Para encontrar as coordenadas do ponto \( P \), avaliamos a função \( f(x) \) em \( x = 1 \): \[ f(1) = (1)^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3 \] Portanto, o ponto \( P \) é \( (1, 3) \).

Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta \( (y - y_0) = m(x - x_0) \), onde \( (x_0, y_0) = (1, 3) \) e \( m = 0 \): \[ y - 3 = 0(x - 1) \] Simplificando, obtemos: \[ y - 3 = 0 \implies y = 3 \]

Final Answer