To find the points on the surface \( x^{2}+4y^{2}+16z^{2}-2xy=12 \) such that the tangent planes are parallel to the XZ plane, we need to determine where the partial derivative with respect to \( y \) is zero. This is because a plane parallel to the XZ plane has no \( y \)-component in its normal vector.
- Compute the partial derivative of the given surface equation with respect to \( y \).
- Set this partial derivative equal to zero and solve for \( y \).
- Substitute the value(s) of \( y \) back into the original equation to find the corresponding \( x \) and \( z \) values.
Dada la ecuación de la superficie:
\[ x^{2} + 4y^{2} + 16z^{2} - 2xy = 12 \]
Para encontrar los puntos donde los planos tangenciales sean paralelos al plano XZ, necesitamos que la derivada parcial con respecto a \( y \) sea cero, ya que esto implica que la pendiente en la dirección \( y \) es cero.
Primero, reescribimos la ecuación de la superficie:
\[ f(x, y, z) = x^{2} + 4y^{2} + 16z^{2} - 2xy - 12 \]
Calculamos las derivadas parciales:
\[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2y \]
\[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 8y - 2x \]
\[ f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = 32z \]
Para que el plano tangencial sea paralelo al plano XZ, necesitamos que:
\[ f_y = 0 \]
Entonces:
\[ 8y - 2x = 0 \]
\[ 8y = 2x \]
\[ x = 4y \]
Sustituimos \( x = 4y \) en la ecuación de la superficie:
\[ (4y)^{2} + 4y^{2} + 16z^{2} - 2(4y)y = 12 \]
\[ 16y^{2} + 4y^{2} + 16z^{2} - 8y^{2} = 12 \]
\[ 12y^{2} + 16z^{2} = 12 \]
\[ y^{2} + \frac{4z^{2}}{3} = 1 \]
La ecuación \( y^{2} + \frac{4z^{2}}{3} = 1 \) describe una elipse en el plano \( y \)-\( z \). Para encontrar los puntos específicos, podemos parametrizar la elipse.
Sea \( y = \cos(\theta) \) y \( z = \sqrt{\frac{3}{4}} \sin(\theta) \), donde \( \theta \) varía de \( 0 \) a \( 2\pi \).
Entonces:
\[ x = 4y = 4\cos(\theta) \]
Los puntos en la superficie son:
\[ (x, y, z) = (4\cos(\theta), \cos(\theta), \sqrt{\frac{3}{4}} \sin(\theta)) \]
Los puntos en la superficie donde los planos tangenciales son paralelos al plano XZ son:
\[ \boxed{(4\cos(\theta), \cos(\theta), \sqrt{\frac{3}{4}} \sin(\theta))} \]
Answered
