Questions: Un tanque abierto al aire completamente lleno de agua tiene una válvula de alivio cerca del fondo. La válvula se encuentra 1.0 m debajo de la superficie del agua. Se libera el agua de la válvula para impulsar una turbina, la cual genera electricidad. El área en la parte superior del tanque, AT, es 10 veces el área de sección transversal, AV, de la abertura de la válvula. Calcule la velocidad del agua conforme sale de la válvula. Ignore la fricción y la viscosidad. Además, calcule la velocidad de una gota de agua soltada a partir del reposo desde h=1.0 m cuando alcanzá la elevación de la válvula. Compare las dos velocidades. Vtext valbula =quad mathrmm / mathrms, Vtext gota =quad mathrmm / mathrms.

Un tanque abierto al aire completamente lleno de agua tiene una válvula de alivio cerca del fondo. La válvula se encuentra 1.0 m debajo de la superficie del agua. Se libera el agua de la válvula para impulsar una turbina, la cual genera electricidad. El área en la parte superior del tanque, AT, es 10 veces el área de sección transversal, AV, de la abertura de la válvula. Calcule la velocidad del agua conforme sale de la válvula. Ignore la fricción y la viscosidad. Además, calcule la velocidad de una gota de agua soltada a partir del reposo desde h=1.0 m cuando alcanzá la elevación de la válvula. Compare las dos velocidades.

Vtext valbula =quad mathrmm / mathrms,
Vtext gota =quad mathrmm / mathrms.

Transcript text: Un tanque abierto al aire completamente lleno de agua tiene una válvula de alivio cerca del fondo. La válvula se encuentra 1.0 m debajo de la superficie del agua. Se libera el agua de la válvula para impulsar una turbina, la cual genera electricidad. El área en la parte superior del tanque, $A_{T}$, es 10 veces el área de sección transversal, $A_{V}$, de la abertura de la válvula. Calcule la velocidad del agua conforme sale de la válvula. Ignore la fricción y la viscosidad. Además, calcule la velocidad de una gota de agua soltada a partir del reposo desde $h=1.0 \mathrm{~m}$ cuando alcanzá la elevación de la válvula. Compare las dos velocidades. \[ \begin{array}{l} V_{\text {valbula }}=\quad \mathrm{m} / \mathrm{s}, \\ V_{\text {gota }}=\quad \mathrm{m} / \mathrm{s} . \end{array} \] Comprobar

Solution

Paso 1: Aplicar el teorema de Torricelli para la gota de agua

La velocidad de la gota de agua (v_gota) al caer desde una altura _h_ se puede calcular utilizando el teorema de Torricelli: v_gota = √(2gh), donde g es la aceleración debida a la gravedad (9.8 m/s²). Sustituyendo h = 1.0 m, obtenemos v_gota = √(2 * 9.8 m/s² * 1.0 m) = √(19.6 m²/s²) = 4.43 m/s.

Paso 2: Aplicar el principio de Bernoulli para la velocidad del agua en la válvula

Dado que el tanque está abierto a la atmósfera, la presión en la superficie del agua y en la salida de la válvula es la presión atmosférica. Aplicando el principio de Bernoulli entre la superficie del agua y la salida de la válvula, e ignorando la fricción y la viscosidad, tenemos:

P₁ + (1/2)ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + (1/2)ρv₂² + ρgh₂

Donde:

P₁ y P₂ son las presiones en la superficie y en la salida de la válvula (ambas iguales a la presión atmosférica).
v₁ y v₂ son las velocidades del agua en la superficie y en la salida de la válvula.
h₁ y h₂ son las alturas de la superficie y la salida de la válvula respecto a un nivel de referencia.

Tomando la salida de la válvula como referencia (h₂=0) y la superficie a una altura h (h₁=h=1m), y dado que P₁ = P₂, la ecuación se simplifica a:

(1/2)ρv₁² + ρgh = (1/2)ρv₂²

Además, por la ecuación de continuidad (A_Tv₁ = A_vv₂), y dado que A_T = 10A_v, tenemos v₁ = (A_v/A_T)v₂ = v₂/10. Sustituyendo esto en la ecuación de Bernoulli simplificada: