Questions: 以下の直線と x 軸で囲まれた図形を x 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。 y=2-x, x=0, x=1 π 1/3 π 1/2 π 3/8 π 7/3 π

Transcript text: 以下の直線と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。 \[ y=2-x, x=0, x=1 \] $\pi$ $\frac{1}{3} \pi$ $\frac{1}{2} \pi$ $\frac{3}{8} \pi$ $\frac{7}{3} \pi$

Solution

Solution Steps

To find the volume of the solid formed by rotating the region bounded by the lines $ y = 2 - x $, $ x = 0 $, and $ x = 1 $ around the x-axis, we can use the method of disks. The volume $ V $ is given by the integral:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]

where $ f(x) = 2 - x $, $ a = 0 $, and $ b = 1 $.

Step 1: 回転体の体積を求めるための積分を設定

与えられた直線 $ y = 2 - x $、$ x = 0 $、および $ x = 1 $ で囲まれた領域を $ x $ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めるために、ディスク法を使用します。体積 $ V $ は次の積分で表されます：

\[ V = \pi \int_{0}^{1} (2 - x)^2 \, dx \]

Step 2: 積分を計算

積分を計算します：

\[ \int_{0}^{1} (2 - x)^2 \, dx \]

まず、被積分関数を展開します：

\[ (2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2 \]

したがって、積分は次のようになります：

\[ \int_{0}^{1} (4 - 4x + x^2) \, dx \]

Step 3: 各項の積分を計算

各項の積分を計算します：

\[ \int_{0}^{1} 4 \, dx = 4x \Big|_{0}^{1} = 4(1) - 4(0) = 4 \]

\[ \int_{0}^{1} -4x \, dx = -4 \int_{0}^{1} x \, dx = -4 \left( \frac{x^2}{2} \right) \Big|_{0}^{1} = -4 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = -4 \left( \frac{1}{2} \right) = -2 \]

\[ \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left( \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]

Step 4: 体積の計算

これらの結果を合計します：

\[ 4 - 2 + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]

したがって、体積 $ V $ は次のようになります：

\[ V = \pi \left( \frac{7}{3} \right) = \frac{7\pi}{3} \]