Questions: Un carro de montaña rusa de masa m=580 kg, pasa por el punto A de la figura con rapidez vA=4,0 m/s, luego desciende por el riel hasta que enfrenta un loop donde realiza una vuelta en 360° con radio de curvatura R=4,0 m. La base del loop se encuentra a una altura h=2,0 m sobre el suelo. Considere despreciable el roce entre el riel y el carro. Si el punto A se encuentra a la altura H=12 m de la pregunta anterior ¿Con qué rapidez llega el carro al piso, al finalizar su recorrido? (A) vf=14,3 m/s (B) vf=15,3 m/s (C) vf=14,8 m/s (D) vf=15.8 m/s (E) vj=11,3 m/s

Un carro de montaña rusa de masa m=580 kg, pasa por el punto A de la figura con rapidez vA=4,0 m/s, luego desciende por el riel hasta que enfrenta un loop donde realiza una vuelta en 360° con radio de curvatura R=4,0 m. La base del loop se encuentra a una altura h=2,0 m sobre el suelo. Considere despreciable el roce entre el riel y el carro.

Si el punto A se encuentra a la altura H=12 m de la pregunta anterior ¿Con qué rapidez llega el carro al piso, al finalizar su recorrido?
(A) vf=14,3 m/s
(B) vf=15,3 m/s
(C) vf=14,8 m/s
(D) vf=15.8 m/s
(E) vj=11,3 m/s

Transcript text: Un carro de montaña rusa de masa $m=580 \mathrm{~kg}$, pasa por el punto $A$ de la figura con rapidez $v_{A}=4,0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, luego desciende por el riel hasta que enfrenta un loop donde realiza una vuelta en $360^{\circ}$ con radio de curvatura $R=4,0 \mathrm{~m}$. La base del loop se encuentra a una altura $\mathrm{h}=2,0 \mathrm{~m}$ sobre el suelo. Considere despreciable el roce entre el riel y el carro. Si el punto $A$ se encuentra a la altura $H=12 \mathrm{~m}$ de la pregunta anterior ¿Con qué rapidez llega el carro al piso, al finalizar su recorrido? (A) $v_{f}=14,3 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ (B) $v_{f}=15,3 \frac{m}{s}$ (C) $v_{f}=14,8 \frac{m}{s}$ (D) $v_{f}=15.8 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ (E) $v_{j}=11,3 \frac{m}{s}$

Solution

Solution Steps

Step 1: Identify the given data and the problem

Mass of the roller coaster car, $ m = 580 \, \text{kg} $
Initial velocity at point A, $ v_A = 4.0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} $
Height at point A, $ H = 12 \, \text{m} $
Radius of the loop, $ R = 4.0 \, \text{m} $
Height of the base of the loop, $ h = 2.0 \, \text{m} $
We need to find the final velocity $ v_f $ when the car reaches the ground.

Step 2: Apply the conservation of mechanical energy

The total mechanical energy at point A (potential + kinetic) will be equal to the total mechanical energy at the final point (ground level).

\[ E_A = E_f \]

At point A: \[ E_A = \text{Potential Energy at A} + \text{Kinetic Energy at A} \] \[ E_A = m g H + \frac{1}{2} m v_A^2 \]

At the final point (ground level): \[ E_f = \text{Potential Energy at ground} + \text{Kinetic Energy at ground} \] \[ E_f = 0 + \frac{1}{2} m v_f^2 \]

Step 3: Set up the energy conservation equation

\[ m g H + \frac{1}{2} m v_A^2 = \frac{1}{2} m v_f^2 \]

Step 4: Simplify and solve for $ v_f $

Cancel out the mass $ m $ from both sides of the equation: \[ g H + \frac{1}{2} v_A^2 = \frac{1}{2} v_f^2 \]

Multiply through by 2 to clear the fraction: \[ 2 g H + v_A^2 = v_f^2 \]

Substitute the known values: \[ 2 (9.8 \, \text{m/s}^2) (12 \, \text{m}) + (4.0 \, \text{m/s})^2 = v_f^2 \] \[ 2 (9.8) (12) + 16 = v_f^2 \] \[ 235.2 + 16 = v_f^2 \] \[ 251.2 = v_f^2 \]

Step 5: Calculate the final velocity $ v_f $

\[ v_f = \sqrt{251.2} \] \[ v_f \approx 15.8 \, \text{m/s} \]