Questions: lim as x approaches -∞ of (9x+3) / ∛(8x^3-3)

Solution Steps

To find the limit of the given expression as \( x \) approaches \(-\infty\), we need to analyze the behavior of both the numerator and the denominator. The numerator is a linear function, and the denominator is a cube root of a cubic polynomial. We can factor out the highest power of \( x \) from both the numerator and the denominator to simplify the expression. This will help us determine the dominant terms and evaluate the limit.

Para calcular o limite \( \lim_{x \to -\infty} \frac{9x + 3}{\sqrt[3]{8x^3 - 3}} \), começamos analisando o comportamento do numerador e do denominador quando \( x \) tende a \(-\infty\). O numerador \( 9x + 3 \) se comporta como \( 9x \) e o denominador \( \sqrt[3]{8x^3 - 3} \) se comporta como \( \sqrt[3]{8x^3} \).

Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador pelo maior termo de \( x \) no denominador, que é \( x \): \[ \frac{9x + 3}{\sqrt[3]{8x^3 - 3}} = \frac{9 + \frac{3}{x}}{\sqrt[3]{8 - \frac{3}{x^3}}} \] Quando \( x \to -\infty \), \( \frac{3}{x} \to 0 \) e \( \frac{3}{x^3} \to 0 \).

Assim, a expressão se torna: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{9 + 0}{\sqrt[3]{8 - 0}} = \frac{9}{\sqrt[3]{8}} = \frac{9}{2} \] Portanto, o limite é \( \frac{9}{2} \).

Final Answer