To find the slope of the tangent line to the curve at a given point, we need to differentiate the equation of the curve implicitly with respect to \(x\). Then, we substitute the given point into the derivative to find the slope of the tangent line at that point.
Dada la ecuación de la curva:
\[ 2y = 1 + xy^3 \]
Derivamos implícitamente ambos lados con respecto a \(x\):
\[ \frac{d}{dx}(2y) = \frac{d}{dx}(1 + xy^3) \]
Usando la regla de la cadena, la derivada del lado izquierdo es:
\[ 2 \frac{dy}{dx} \]
Para el lado derecho, aplicamos la regla del producto a \(xy^3\):
\[ \frac{d}{dx}(1 + xy^3) = 0 + \left( x \frac{d}{dx}(y^3) + y^3 \frac{d}{dx}(x) \right) \]
La derivada de \(y^3\) es \(3y^2 \frac{dy}{dx}\), y la derivada de \(x\) es 1. Por lo tanto:
\[ \frac{d}{dx}(xy^3) = x(3y^2 \frac{dy}{dx}) + y^3 \cdot 1 = 3xy^2 \frac{dy}{dx} + y^3 \]
Igualamos las derivadas obtenidas:
\[ 2 \frac{dy}{dx} = 3xy^2 \frac{dy}{dx} + y^3 \]
Reorganizamos la ecuación para resolver \(\frac{dy}{dx}\):
\[ 2 \frac{dy}{dx} - 3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3 \]
Factorizamos \(\frac{dy}{dx}\):
\[ \frac{dy}{dx} (2 - 3xy^2) = y^3 \]
Despejamos \(\frac{dy}{dx}\):
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2 - 3xy^2} \]
Sustituimos \(x = 1\) y \(y = 1\) en la expresión de \(\frac{dy}{dx}\):
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1^3}{2 - 3 \cdot 1 \cdot 1^2} = \frac{1}{2 - 3} = \frac{1}{-1} = -1 \]
La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto \((1, 1)\) es:
\[
\boxed{m = -1}
\]
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