Questions: Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva: 2y=1+xy^3, en el punto (1,1).

Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva: 2y=1+xy^3, en el punto (1,1).
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Solution

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To find the slope of the tangent line to the curve at a given point, we need to differentiate the equation of the curve implicitly with respect to xx. Then, we substitute the given point into the derivative to find the slope of the tangent line at that point.

Paso 1: Derivar implícitamente la ecuación

Dada la ecuación de la curva:

2y=1+xy3 2y = 1 + xy^3

Derivamos implícitamente ambos lados con respecto a xx:

ddx(2y)=ddx(1+xy3) \frac{d}{dx}(2y) = \frac{d}{dx}(1 + xy^3)

Usando la regla de la cadena, la derivada del lado izquierdo es:

2dydx 2 \frac{dy}{dx}

Para el lado derecho, aplicamos la regla del producto a xy3xy^3:

ddx(1+xy3)=0+(xddx(y3)+y3ddx(x)) \frac{d}{dx}(1 + xy^3) = 0 + \left( x \frac{d}{dx}(y^3) + y^3 \frac{d}{dx}(x) \right)

La derivada de y3y^3 es 3y2dydx3y^2 \frac{dy}{dx}, y la derivada de xx es 1. Por lo tanto:

ddx(xy3)=x(3y2dydx)+y31=3xy2dydx+y3 \frac{d}{dx}(xy^3) = x(3y^2 \frac{dy}{dx}) + y^3 \cdot 1 = 3xy^2 \frac{dy}{dx} + y^3

Paso 2: Igualar las derivadas

Igualamos las derivadas obtenidas:

2dydx=3xy2dydx+y3 2 \frac{dy}{dx} = 3xy^2 \frac{dy}{dx} + y^3

Paso 3: Resolver para dydx\frac{dy}{dx}

Reorganizamos la ecuación para resolver dydx\frac{dy}{dx}:

2dydx3xy2dydx=y3 2 \frac{dy}{dx} - 3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3

Factorizamos dydx\frac{dy}{dx}:

dydx(23xy2)=y3 \frac{dy}{dx} (2 - 3xy^2) = y^3

Despejamos dydx\frac{dy}{dx}:

dydx=y323xy2 \frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2 - 3xy^2}

Paso 4: Evaluar en el punto (1,1)(1, 1)

Sustituimos x=1x = 1 y y=1y = 1 en la expresión de dydx\frac{dy}{dx}:

dydx=1323112=123=11=1 \frac{dy}{dx} = \frac{1^3}{2 - 3 \cdot 1 \cdot 1^2} = \frac{1}{2 - 3} = \frac{1}{-1} = -1

Respuesta Final

La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,1)(1, 1) es:

m=1 \boxed{m = -1}

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