Questions: Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva: 2y=1+xy^3, en el punto (1,1).

To find the slope of the tangent line to the curve at a given point, we need to differentiate the equation of the curve implicitly with respect to $x$. Then, we substitute the given point into the derivative to find the slope of the tangent line at that point.

Dada la ecuación de la curva:

$$2y = 1 + xy^3$$

Derivamos implícitamente ambos lados con respecto a $x$:

$$\frac{d}{dx}(2y) = \frac{d}{dx}(1 + xy^3)$$

Usando la regla de la cadena, la derivada del lado izquierdo es:

$$2 \frac{dy}{dx}$$

Para el lado derecho, aplicamos la regla del producto a $xy^3$:

$$\frac{d}{dx}(1 + xy^3) = 0 + \left( x \frac{d}{dx}(y^3) + y^3 \frac{d}{dx}(x) \right)$$

La derivada de $y^3$ es $3y^2 \frac{dy}{dx}$, y la derivada de $x$ es 1. Por lo tanto:

$$\frac{d}{dx}(xy^3) = x(3y^2 \frac{dy}{dx}) + y^3 \cdot 1 = 3xy^2 \frac{dy}{dx} + y^3$$

Igualamos las derivadas obtenidas:

$$2 \frac{dy}{dx} = 3xy^2 \frac{dy}{dx} + y^3$$

Reorganizamos la ecuación para resolver $\frac{dy}{dx}$:

$$2 \frac{dy}{dx} - 3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3$$

Factorizamos $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} (2 - 3xy^2) = y^3$$

Despejamos $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2 - 3xy^2}$$

Sustituimos $x = 1$ y $y = 1$ en la expresión de $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1^3}{2 - 3 \cdot 1 \cdot 1^2} = \frac{1}{2 - 3} = \frac{1}{-1} = -1$$

La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $(1, 1)$ es:

$$\boxed{m = -1}$$