Questions: lim as x approaches 0 of ((1+x)^2 - 1)/x

Consideramos la función dada por

\[ f(x) = \frac{(1+x)^{2}-1}{x} \]

Al sustituir \( x = 0 \) directamente en la función, obtenemos una forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Por lo tanto, necesitamos simplificar la expresión.

Expandimos el numerador:

\[ (1+x)^{2} = 1 + 2x + x^{2} \]

Sustituyendo esto en la función, tenemos:

\[ f(x) = \frac{(1 + 2x + x^{2}) - 1}{x} = \frac{2x + x^{2}}{x} \]

Cancelamos el factor común \( x \):

\[ f(x) = 2 + x \]

Ahora, evaluamos el límite cuando \( x \) se aproxima a 0:

\[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (2 + x) = 2 \]

La respuesta es

\[ \boxed{2} \]