Questions: Sejam os polinômios f(x)=(3 a+2) x+2 e g(x)=2 a x-3 a+1 nos quais a é uma constante. Calcule a condição para que o polinômio f.g tenha grau 2.

To find the condition for the polynomial \( f(x) \cdot g(x) \) to have degree 2, we need to ensure that the highest degree term in the product is \( x^2 \). This means that the coefficients of \( x^2 \) in the product should not be zero. We will multiply the polynomials and set the coefficient of \( x^2 \) to be non-zero, then solve for \( a \).

Os polinômios dados são \( f(x) = (3a + 2)x + 2 \) e \( g(x) = 2ax - 3a + 1 \).

Multiplicamos os polinômios \( f(x) \) e \( g(x) \) para obter o produto: \[ f(x) \cdot g(x) = \left((3a + 2)x + 2\right) \cdot \left(2ax - 3a + 1\right) \] Expandindo, obtemos: \[ f(x) \cdot g(x) = 6a^2x^2 - 9a^2x + 4ax^2 + ax - 6a + 2x + 2 \]

O coeficiente de \( x^2 \) no produto é: \[ 6a^2 + 4a \]

Para que o polinômio \( f(x) \cdot g(x) \) tenha grau 2, o coeficiente de \( x^2 \) deve ser diferente de zero: \[ 6a^2 + 4a \neq 0 \]

Resolvendo a inequação: \[ 6a^2 + 4a \neq 0 \] Podemos fatorar a expressão: \[ 2a(3a + 2) \neq 0 \] Portanto, \( a \neq 0 \) e \( 3a + 2 \neq 0 \).

Para \( 3a + 2 \neq 0 \), temos: \[ 3a \neq -2 \quad \Rightarrow \quad a \neq -\frac{2}{3} \]

A condição para que o polinômio \( f(x) \cdot g(x) \) tenha grau 2 é: \[ a \neq 0 \quad \text{e} \quad a \neq -\frac{2}{3} \] \[ \boxed{a \neq 0 \text{ e } a \neq -\frac{2}{3}} \]