a) To find the partial derivatives of the function \( f(x, y) \) at the point \( (0, 0) \), we need to use the definition of partial derivatives. We will compute the limit of the difference quotient for each variable as it approaches zero.
b) To determine if the function is differentiable at \( (0, 0) \), we need to check if the function is continuous at that point and if the partial derivatives exist and are continuous in a neighborhood around \( (0, 0) \). We will also check if the limit of the difference quotient exists and is equal to the linear approximation.
Para calcular \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\), utilizamos la definición de derivada parcial. La derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x \) es:
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{24xy}{x^2 + y^2} - \frac{2x(12x^2y - 3y^3)}{(x^2 + y^2)^2}
\]
Evaluando en \( (0, 0) \), obtenemos:
\[
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0
\]
Para calcular \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\), utilizamos la definición de derivada parcial. La derivada parcial de \( f \) con respecto a \( y \) es:
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2y(12x^2y - 3y^3)}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{12x^2 - 9y^2}{x^2 + y^2}
\]
Evaluando en \( (0, 0) \), obtenemos:
\[
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = -3
\]
Para que \( f \) sea diferenciable en \( (0, 0) \), la función debe ser continua en ese punto y las derivadas parciales deben existir y ser continuas en un entorno de \( (0, 0) \). Además, el límite del cociente de diferencias debe existir y ser igual a la aproximación lineal.
Dado que \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = -3\) y no es igual a cero, la función no es diferenciable en \( (0, 0) \).
\[
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \boxed{0}
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \boxed{-3}
\]
La función \( f \) no es diferenciable en \( (0, 0) \): \(\boxed{\text{No}}\)
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